<T->
          Vontade de Saber
          Matemtica 9 Ano

          Joamir Souza
          Patricia Moreno Pataro

          Impresso Braille em
          8 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 1 edio da Editora 
          FTD S.A.

          Primeira Parte  
   
          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444 
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,          
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2011 --

<P>
          Vontade de Saber Matemtica
          Copyright (C) Joamir Roberto de Souza e Patricia Rosana
          Moreno Pataro, 2009  
        
          Gerente editorial:
          Silmara Sapiense Vespasiano
          Editora:
          Rosa Maria Mangueira
          Editora assistente:
          Alessandra Abramo
 
          Todos os direitos reservados  EDITORA FTD S.A.
          Matriz: Rua Rui Barbosa, 
          156 -- Bela Vista -- 
          So Paulo -- SP 
          CEP 01326-010 -- 
          Tel. (11) 3598-6000
          Caixa Postal 65149 -- CEP da Caixa Postal 01390-970
          Internet: ~,http:www.ftd.com.br~,
          E-mail: ~,coord.editorial@ftd.~
          com.br~,
<p>
                                I
Dados Internacionais de 
  Catalogao na Publicao 
  (CIP)
 (Cmara Brasileira do 
  Livro, SP, Brasil)

Souza, Joamir Roberto de
  Vontade de Saber matemtica, 9 ano / Joamir Roberto de Souza,
Patricia Rosana Moreno 
 Pataro. -- 1. ed. -- So 
 Paulo: FTD, 2009. -- 
 (Coleo vontade de saber).

  Bibliografia.
  ISBN 978-85-322-7117-4
 (aluno)
  ISBN 978-85-322-7118-1 
 (professor) 

<R+>
1. Matemtica (Ensino fundamental) I. Pataro, Patricia Rosana Moreno. 
II. Ttulo. III. Srie.
<R->

09-03102           CDD-372`.7

ndices para catlogo 
  sistemtico:
<R+>
 1. Matemtica: Ensino fundamental 372`.7
<R->
<p>
                             III
Joamir Roberto de Souza

  Professor graduado em Matemtica pela Universidade Estadual de 
Londrina (UEL).
  Especialista em Estatstica pela Universidade Estadual de Londrina 
(UEL).
  Professor da rede pblica de ensino.

Patricia Rosana Moreno Pataro

  Professora graduada em Matemtica pela Universidade Estadual de 
Londrina (UEL).
  Especialista em Estatstica pela Universidade Estadual de Londrina 
(UEL).

<p>
Apresentao

  Provavelmente voc j reparou nos cdigos de barras das embalagens
de produtos, utilizou uma balana ou observou algum grfico
na televiso. Esses so apenas alguns exemplos de situaes nas
quais a Matemtica est presente. Ela est relacionada a diversas
reas do conhecimento e  uma ferramenta indispensvel em nosso
dia a dia. Compreender a Matemtica e suas ideias nos auxilia a
entender o mundo  nossa volta e a nos tornar cidados e cidads
crticos e participantes na sociedade.
  Este livro foi elaborado para que voc possa, de maneira prazerosa,
aplicar a Matemtica em seu cotidiano. Para isso, procuramos
abordar situaes interessantes e atuais, nas quais voc poder usar
a criatividade, explorar o raciocnio matemtico, conversar com os
colegas sobre procedimentos, levantar hipteses e tomar decises.
  Contudo, a sua dedicao  fun-
<p>
                                V
 damental.  importante que voc
faa sugestes, d opinies, empenhe-se na resoluo de situaes
desafiadoras, tornando-se participativo em sala de aula.
  Enfim, esperamos que voc, aluno ou aluna, desenvolva suas 
habilidades
matemticas e, com as orientaes do professor, utilize
este livro com entusiasmo e dedicao.

Os autores
<p>
<p>
                             VII
Seu livro em Braille

  Este  o livro utilizado em sua classe, produzido em braille para 
voc. Ele contm as mesmas informaes que esto no livro do seu 
colega, porm, enquanto o livro comum apresenta ilustraes, cores e 
tamanhos variados de letras (grandes, pequenas, ligadas umas s 
outras, separadas), o seu livro em braille apresenta descries 
substituindo ilustraes e, em muitos casos, figuras so explicadas, 
procurando fazer voc compreender o que elas representam.
  Dicas para estudar no seu livro em braille:

<R+>
1 -- As pginas mpares deste livro apresentam duas numeraes na 
primeira linha: a que fica  direita  a do prprio livro em braille 
e a que est  esquerda  a do livro comum. Por esta, voc pode se 
localizar, de acor-
<p>
  do com a orientao do professor, ou quando estiver estudando com 
outros colegas.
 2 -- Quando voc encontrar o sinal _ e, depois dele, uma frase 
terminada pelo sinal _ saiba que se trata de uma explicao especial 
chamada "nota de transcrio", empregada nos livros em braille.
 3 -- Em alguns momentos, voc precisar contar com a colaborao de 
algum; por isto, foi colocada a frase "pea orientao ao professor" 
para sugerir que voc solicite informaes ou esclarecimentos.
 4 -- Sempre que voc encontrar nos textos alguma representao 
grfica ou descrio e tiver dvidas, pergunte a seu professor ou a 
outra pessoa capaz de esclarec-lo.
<R->
<R->
<p>
                              IX
<R+>
<F->
Sumrio Geral

Primeira Parte

Captulo 1

Razes ::::::::::::::::::::: 1 
Radiciao ::::::::::::::::: 2
Potncias com expoente 
  fracionrio ::::::::::::::: 12
Propriedades dos 
  radicais :::::::::::::::::: 16
Simplificao de 
  radicais :::::::::::::::::: 24
Operaes com radicais ::::: 28
Refletindo sobre o 
  captulo :::::::::::::::::: 42
Reviso :::::::::::::::::::: 45
Testes ::::::::::::::::::::: 52

Captulo 2

Equaes do 2 grau e 
  sistemas de equaes :::::: 55 
Equaes do 2 grau com 
  uma incgnita ::::::::::::: 56 
<p>
Resoluo de equaes do 
  2 grau :::::::::::::::::: 66
Estudando as razes de 
  equaes do 2 grau :::::: 100
Sistema de duas equaes 
  com duas incgnitas ::::::: 114
Refletindo sobre o 
  captulo :::::::::::::::::: 123
Reviso :::::::::::::::::::: 126
Testes ::::::::::::::::::::: 139

Segunda Parte

Captulo 3
 
Matemtica financeira :::::: 145 
A matemtica financeira :::: 147
Acrscimo :::::::::::::::::: 149 
Desconto ::::::::::::::::::: 151
Juros :::::::::::::::::::::: 156
Refletindo sobre o 
  captulo :::::::::::::::::: 175
Explorando o tema: Linha 
  do Tempo ::::::::::::::::: 178
Reviso :::::::::::::::::::: 188
Testes ::::::::::::::::::::: 193
<p>
                             XI
Captulo 4 

Simetria ::::::::::::::::::: 198 
Simetria de rotao :::::::: 199
Simetria de translao ::::: 205
Refletindo sobre o 
  captulo :::::::::::::::::: 209
Explorando o tema: A 
  fundamental beleza da 
  natureza :::::::::::::::::: 211
Reviso :::::::::::::::::::: 215
Testes ::::::::::::::::::::: 217

Terceira Parte

Captulo 5

Funes :::::::::::::::::::: 221 
A noo de funo :::::::::: 223
Representao grfica de 
  uma funo :::::::::::::::: 247
Funo afim :::::::::::::::: 258
Funo quadrtica :::::::::: 288
Refletindo sobre o 
  captulo :::::::::::::::::: 326
Explorando o tema: A 
  matemtica do caos :::::::: 330
Reviso :::::::::::::::::::: 333
Testes ::::::::::::::::::::: 348

Quarta Parte

Captulo 6
 
Semelhana ::::::::::::::::: 361 
Segmentos proporcionais :::: 362
Teorema de Tales :::::::::: 371
Semelhana de figuras :::::: 397
Refletindo sobre o 
  captulo :::::::::::::::::: 426
Reviso :::::::::::::::::::: 428
Testes ::::::::::::::::::::: 439 

Quinta Parte

Captulo 7

Relaes no tringulo 
  retngulo ::::::::::::::::: 447 
Relaes mtricas no 
  tringulo retngulo ::::::: 448
Teorema de Pitgoras :::::: 469
Relaes trigonomtricas no 
  tringulo retngulo ::::::: 482
Tabela trigonomtrica :::::: 496
<p>
                           XIII
ngulos notveis ::::::::::: 504
Refletindo sobre o 
  captulo :::::::::::::::::: 522
Reviso :::::::::::::::::::: 526
Testes ::::::::::::::::::::: 540

Sexta Parte

Captulo 8 

Tratamento da informao ::: 549 
Variveis estatsticas ::::: 551
Distribuio de 
  frequncias ::::::::::::::: 562
Intervalos de classes :::::: 574
Mdia aritmtica, mediana 
  e moda :::::::::::::::::::: 588
Refletindo sobre o 
  captulo :::::::::::::::::: 605
Explorando o tema: Quanto 
  uma baleia come 
  por dia? :::::::::::::::::: 610
Reviso :::::::::::::::::::: 614
Testes ::::::::::::::::::::: 620
<p>
Captulo 9
 
Crculo e 
  circunferncia :::::::::::: 633 
A circunferncia ::::::::::: 634
ngulo na circunferncia ::: 637
Comprimento da 
  circunferncia :::::::::::: 647
rea do crculo :::::::::::: 659
Refletindo sobre o 
  captulo :::::::::::::::::: 674
Reviso :::::::::::::::::::: 679
Testes ::::::::::::::::::::: 683

Stima Parte

Captulo 10 

Medidas de volume :::::::::: 691 
Volume ::::::::::::::::::::: 692
Volume do paraleleppedo 
  retngulo ::::::::::::::::: 697
Volume do cilindro ::::::::: 705
Unidades de capacidade ::::: 715
Refletindo sobre o 
  captulo :::::::::::::::::: 722
Explorando o tema: Universo 
  cheio de contrastes ::::::: 724
<p>
                             XV
Reviso :::::::::::::::::::: 729
Testes ::::::::::::::::::::: 734

Oitava Parte

Ampliando seus 
  conhecimentos ::::::::::::: 743 
Respostas :::::::::::::::::: 753 
Bibliografia ::::::::::::::: 856 
<F+>
<R->
<p>
<p>
                            XVII
 Nota de transcrio    

  Conforme o Cdigo Matemtico Unificado para a Lngua Portuguesa -- CMU, pginas 
39 e 53, as fraes podem ser escritas, em braille, das seguintes maneiras:
<R+>
 A) "O numerador, precedido de sinal de nmero, escrever-se- na parte inferior da cela braille e o denominador na parte superior, este ltimo sem sinal de nmero."
Exemplo: #:d (trs quartos). 
 B) Utilizando-se o trao de frao, representado pelos pontos (256) 
Exemplo: 3#d (trs quartos).
 C) Utilizando-se o trao de frao, representado pelos pontos `(5#bef`) ~
Exemplo:  #:d~#e (trs quartos sobre cinco).
 Neste livro em braille, estas formas de representao sero aplicadas de acordo com a necessidade do contedo.
<R->

<8>
<tv. saber mat. 9>
<T+1>
<R+>
Captulo 1 -- Razes 

_`[{trs imagens adaptadas_`]

I -- Uma planta baixa, destacando a sala de forma quadrada com rea de 36 cm2.
 II -- Uma calculadora com o visor mostrando 3125=5
 III -- Sequncia de bolinhas:

<F->
o -- 12   

o o
o o -- 22

o o o
o o o
o o o -- 32

o o o o o o o
o o o o o o o
o o o o o o o
o o o o o o o
o o o o o o o
o o o o o o o
o o o o o o o -- x
<F+>

Conversando sobre o assunto 
 a) Como  possvel calcular a medida do lado da sala de forma 
quadrada
representada na imagem I? 
 b) Na imagem II, que operao foi realizada na calculadora? 
 c) Qual potncia de expoente 2 a letra *x* representa na sequncia da 
imagem III?
<R->

<9>
Radiciao 

  Estudamos em anos anteriores a operao de radiciao. Agora, 
aprenderemos
um pouco mais desse contedo. Para isso, considere a situao a 
seguir. 
  Um serralheiro precisa cortar uma chapa de ferro em forma quadrada com 
6.400 cm2 de rea. Para comear, ele deve determinar a medida do lado 
que essa chapa deve ter, utilizando a frmula da rea do quadrado. 
<p>
<R+>
A=l2 A: rea do quadrado
 6.400=l2 l: medida do lado do quadrado
<R->

  Assim, temos que determinar um nmero positivo que elevado ao quadrado 
resulte em 6.400, ou seja, precisamos calcular a raiz quadrada de 6.400.

<R+>
6.400=80, pois 802=
  =80.80=6.400
<R->

  Portanto, a chapa de ferro deve ter 80 cm de lado. 

<R+>
A operao utilizada para resolver a situao anterior  chamada 
radiciao. Nessa operao, podemos destacar os seguintes elementos.

26.400=80

2: ndice
 6.400: radicando
<p>
 : radical
 80: raiz
<R->
 
_`[{a moa diz_`]
  "Lembre-se de que calculamos 
apenas a raiz quadrada de 
nmeros positivos, e a raiz 
quadrada de um nmero 
positivo tambm  positiva." 

  Veja outra situao. 
  O cubo representado tem volume igual a 343 cm3. Qual a medida da 
aresta desse cubo? 
 
<R+>
_`[{figura no adaptada_`]
<R->

  Para obter a medida da aresta do cubo, podemos utilizar a frmula do 
volume do cubo.
 
<R+>
V=a3 
 343=a3 
 V: volume do cubo
 a: medida da aresta do cubo
<R->
<p>
  Sendo assim, devemos calcular a raiz cbica de 343. 

<R+>
3343=7, pois 73=7.7.7=
  =343 
<R->

  Portanto, a aresta desse cubo mede 7 cm. 

<R+>
Lembre-se de que 
a radiciao  a 
operao inversa 
da potenciao. 
<R->

<10> 
  Podemos calcular razes com ndices maiores que 3. Veja alguns 
exemplos.

<R+>
  4625=5, pois 54=
  =5.5.5.5=625
<R->
  L-se: raiz quarta de 625  igual a 5. 

<R+>
  5-243=-3, pois `(-3`)5=
  =`(-3`).`(-3`).`(-3`).`(-3`).`(-3`)=
  =-243 
<R->
  L-se: raiz quinta de -243  igual a -3. 

<R+>
  664=2, pois 26=2.2.2.2.2.2=64
<R->
  L-se: raiz sexta de 64  igual a 2. 

<R+>
Seja *a* um nmero real e *n* um nmero natural maior que 1, temos de 
considerar os seguintes casos para o clculo da raiz ensima de *a* `(na`). 
 Se *n* for par e a>=0, temos que na  um nmero *b*, tal que bn=a. 
Exemplos:
 121=11, pois 112=121  481=3, pois 34=81  664=2, pois 26=64
 Se *n* for par e a<0, no existe na no conjunto dos nmeros reais. 
Exemplos:
 No existe -9 em _r, pois no h um nmero real *b*, tal que b2=-9. 
 No existe 4-16 em _r, pois no h um nmero real *b*, tal que b4=-16.
 Se *n* for mpar, temos que na  um nmero *b*, tal que bn=a. 
<p>
Exemplos:
 3125=5, pois 53=125
 3-64=-4, pois `(-4`)3=-64
 51.024=4, pois 45=1.024
 7-2.187=-3, pois `(-3`)7=
  =-2.187

Atividades 

Anote as respostas 
no caderno.
 
1. Calcule o permetro de cada quadrado. 
 a) A=169 cm2 
 b) A=81 cm2 
 c) A=136,89 cm2 
 d) A=225 cm2 

2. Determine a medida da aresta de cada cubo. 
 a) V=125 cm3
 b) V=216 cm3
 c) V=512 cm3
<R->

<11>
<R+>
3. Calculadora 
 Com o auxlio de uma calculadora, resolva 
os itens arredondando o resultado para 
o centsimo mais prximo. 
 a) 18 
 b) 5 
 c) 10 
 d) 42 
 e) 74 
 f) 638 
 
4. Em cada item, determine qual dos valores 
indicados no quadro substitui corretamente 
o ''' 
 a) 4'''=9 
 b) 32.197=''' 
 c) 5'''=6 
 d) '''81=3 
 e) 6'''=4 
 f) 41.296='''
<R->

  13, 4.096, 6, 7.776, 16, 6.561, 4. 

<R+>
5. Quais itens tm soluo no conjunto dos 
nmeros reais? 
 a) 6-64 
 b) 5-32 
 c) 3-1 
 d) -25 
 e) 3-64 
 f) 8-23 
 g) 9-128 
 h) 5-79 

6. Os recipientes I e II tm a mesma capacidade 
e forma de paraleleppedo e cubo, 
respectivamente. De acordo com as medidas 
do recipiente I, resolva. 

_`[{figura adaptada_`]

Um paraleleppedo com medidas: 
  4 cm de altura, 16 cm de comprimento e 8 cm de largura.

a) Qual a capacidade do recipiente I em 
centmetros cbicos? 
 b) Determine a medida da aresta do recipiente 
II _`[no adaptado_`].
 
7. Contexto 
 Hero de Alexandria foi um dos matemticos 
que mais se destacaram em sua poca. 
No se sabe exatamente o perodo em 
que viveu, mas estima-se que tenha sido 
entre 150 a.C. e 250 d.C. Seus trabalhos, 
em geral, tratam com maior frequncia de 
aplicaes prticas da Matemtica, dando 
grandes contribuies  *Agrimensura* 
e  Engenharia. 
<R->

  Agrimensura :> arte ou tcnica de 
medio de terras, campos etc. 

<R+>
Na obra *A mtrica*, Hero prope um mtodo 
para o clculo da raiz quadrada 
aproximada de um nmero natural que 
no seja quadrado perfeito. Esse mtodo 
 utilizado com muita frequncia nos 
computadores atuais. 
 De acordo com esse mtodo, dado 
n=a.b, temos n~?;?a+b*2, sendo que, 
quanto mais prximos forem *a* e *b*, melhor 
ser a aproximao. 
<p>
 Veja como podemos calcular uma aproximao 
da 30 pelo mtodo de Hero. 
 Como 5.6=30, tomamos a=5 e b=6. 
Dessa forma: 
<R->

<F->
30~?;?5+6*2=#,,b=5,5
<F+>

<R+>
Portanto, pelo mtodo de Hero, 
30~?;5,5. 
 Utilizando o mtodo de Hero, calcule o 
valor aproximado de: 
 a) 20 
 b) 72 
 c) 35 
 d) 120 
 Agora, junte-se a um colega e comparem 
as respostas obtidas por vocs e os valores 
determinados em uma calculadora. 

8. Observe a sequncia. 
 352, 454, 556, 658 
 
a) Quais so os prximos trs radicais 
dessa sequncia? 
 b) Qual radical dessa sequncia  igual 
a 5?
<R->

<12>
<F->
Potncias com expoente 
  fracionrio
<F+>
 
  Em anos anteriores, estudamos potncias com expoentes inteiros como, 
por exemplo:
 
<R+>
132 -- 5-4 -- 85 
  -- -711 -- `(#?d`)3
<R->

  Agora, estudaremos potncias com expoentes fracionrios e como essas 
potncias podem ser escritas por meio de radicais. 
  Considere as igualdades x=342 (I) e y=4#;c
(II). 
  Como nesse caso na=b, ento bn=a, temos em I que: 
<F->
x=342 :> x3=42 
<F+>
  Elevando os dois membros de II ao cubo, temos: 
<F->
y3=`(4#;c`)3=4#;c.3=42
<F+>
<p>
  Portanto, como x3=y3, temos que x=y, ou seja, 342=4#;c. 

<R+>
Podemos escrever potncias de base positiva e expoente fracionrio 
por meio de radicais, e escrever radicais por meio de potncias de base 
positiva e expoentes fracionrios. Exemplos. 
 7#,c=371
 435=3#?d 
 9#;e=592
 2#;g=27
 324=2#c
 63=6#:b
 De modo geral, sendo *a* um nmero real positivo, *m* um nmero natural 
maior que zero e *n* um nmero natural maior que 1, temos: nam = amn.
<R->

_`[{a moa diz_`]
  "Note que o ndice do 
radical corresponde 
ao denominador do 
expoente da potncia."

<R+>
Atividades 

Anote as respostas 
no caderno. 
 
9. Nas fichas, determine o nmero correspondente 
a cada letra. 

A57=5#=d 

 3125=12?B3* 

 47c=7#*d 

 695=9?D6*

 10=10?1E*

 F46=4#:e

10. Escreva os radicais como potncias de expoentes 
fracionrios.
 a) 362
 b) 4115
 c) 724
 d) 81
 e) 179
 f) 943
<p> 
11. Determine o radical equivalente a cada 
potncia. 
 a) 3#;e
 b) 6#"c
 c) 8#i
 d) 15#=b
 e) 65#,f
 f) 47#,b

12. Resolva as expresses. 
 a) 64#,c+81#,b-12
 b) 1#*g-10+121#,b
 c) 625#,d-1.024#,aj+100#,b

Inicialmente 
transforme as 
potncias em 
radicais. 

13. Associe cada potncia a um radical, escrevendo 
a letra e o smbolo romano correspondentes.
 a) `(2#:d`)#;c
 b) `(2#?c`)#*aj
 c) `(2#,d`)#"c
 d) `(2#,!i`)#:d
 
I) 23
 II) 324
 III) 2
 IV) 322
 
A propriedade `(am`)n=a?m.n* tambm 
 vlida para *m* e *n* fracionrios. 
<R->

<13>
Propriedades dos radicais
 
  Veremos a seguir algumas propriedades dos radicais. Em certas 
situaes, essas propriedades facilitam a realizao de alguns clculos. 
  1 propriedade 

<R+>
Observe os clculos.
 363=6#:c=61=6
 878=7#"h=71=7
 O ndice do radical e o expoente do radicando so iguais. Nessas 
igualdades, o resultado  o prprio radicando. 
 De modo geral, sendo *a* um nmero real positivo e *n* um nmero 
natural maior que 1, temos: nan=a. 
<R->

_`[{o moo diz_`]
  "A 1 propriedade tambm  
vlida se *a* for um nmero 
real negativo e *n* um 
nmero mpar maior que 1."
 
  2 propriedade 
 
Observe os clculos.
<F->
495=9#?d=9??5.3*
  ?4.3**=4.39?5.3*=
  =12915
486=8#!d=8??62*
  ?42**=428?62*=
  =283=83
<F+>
 
<R+>
Quando multiplicamos ou dividimos o ndice do radical e o expoente do 
radicando pelo mesmo nmero natural no nulo, o radical obtido  equivalente ao 
inicial.
 De modo geral, sendo *a* um nmero real positivo, *n* um nmero natural 
maior que 1 e *m* e *q* nmeros naturais diferentes de
zero, temos: nam=n.qa?m.q* e nam=nqa?mq*.
<R->

  3 propriedade 

Observe os clculos. 
<F->
35.9=(5.9)#,c=5#,c.
  .9#,c=35.39
4?67*=`(#!g`)#,d=
  =6#,d7#,d=4647
<F+>

<R+>
A raiz de um produto  igual ao produto das razes dos fatores. De 
maneira semelhante, a raiz de um quociente  igual ao quociente entre a raiz 
do dividendo e a do divisor. 
 De modo geral, sendo *a* e *b* nmeros reais positivos e *n* um nmero 
natural maior que 1, temos: n?a.b*=na.nb e n?ab*=nanb ou n?ab*=nanb.
<R->

  4 propriedade 

Observe os clculos. 
<F->
3?45*=`(45`)#,c=
  =`(5#,d`)#,c=5?14.13*=
  =5#,ab=125
<p>
?57*=`(57`)#,b=
  =`(7#,e`)#,b=7?15.12*=
  =7#,aj=107
<F+>

<R+>
A raiz de uma raiz pode ser representada por um nico radical, no 
qual o ndice  igual ao produto dos ndices das razes iniciais. 
 De modo geral, sendo *a* um nmero real positivo, e *n* e *p* nmeros 
naturais maiores que 1, temos: n?pa*=?n.p*a.
<R->

<14>
<R+>
Atividades 

Anote as respostas 
no caderno.

14. Calcule.
 a) 696
 b) 5`(#,b`)5
 c) (4,2)2
 d) 3`(-5`)3
 e) 4134
 f) 5`(-#;e`)5
<p> 
15. Determine o valor de cada letra nas igualdades. 

1294=39A

3`(-5`)D=9`(-5`)6

375=B720

145=E1415

F`(#,c`)=14`(#,c`)7

C0,62=160,68

16. Escreva as expresses por meio de um 
nico radical. 
 a) 7.12.3
 b) 410.42.49
 c) 71379
 d) 105104.1020

17. Observe como Henrique transformou 
6125 em uma raiz quadrada. 

6125=653=
  =?63*5?33*=5
<p>
a) Nesse clculo, que propriedade dos 
radicais Henrique utilizou? 
 b) De maneira semelhante, transforme: 
 4289 em uma raiz quadrada 
 1864 em uma raiz cbica 

18. Verifique se cada igualdade  verdadeira 
ou falsa.
 a) 3?18*=618
 b) 1542=5?342*
 c) 6?22*=822
 d) 310=12?410*
 e) 4?3?56**=2456
 f) ?1274*=
  =3?3?474**
 
19. Utilizando as propriedades, transforme as 
expresses em um nico radical. 
 a) 6?53*.612
 b) 7?22*142
 c) 125124.4?36*
 d) 815.?4*
  ?420*
 
20. Veja como podemos simplificar `(62`)3. 

`(62`)3=62.62.
  .62=6?2.2.2*
 623=?63*2?33*=2

De maneira semelhante, simplifique. 
 a) `(87`)2
 b) `(94`)3
 c) `(1892`)3

21. Qual dos radicais representa o volume do 
cubo cuja aresta mede 1252 cm? 
 a) 35 cm3 
 b) 65 cm3 
 c) 5 cm3 
 d) 5 cm3 

22. Sabendo que 35~?;1,7, qual dos valores  
mais prximo de 61.600? 
 a) 2 
 b) 3 
 c) 4 
<p>
 d) 5 
 e) 6 

23. Calculadora 
 Utilizando uma calculadora comum, podemos 
obter razes cujo ndice  uma potncia 
de base 2. Veja, por exemplo, como 
podemos calcular 86.561. 

Inicialmente, registramos o 
nmero 6.561 e digitamos a 
tecla , obtendo 6.561: 
 6 :> 5 :> 6 :> 1 :> 

_`[{visor com o nmero 81_`]

Digitamos a tecla  pela 
2 vez, obtendo ?6.651*, ou 
seja, 46.561. 
 
_`[{visor com o nmero 9_`]

Por fim, digitamos a tecla 
pela 3 vez, obtendo 
<p>
  ?46.561*, ou seja, 86.561. 
 
_`[{visor com o nmero 3_`]

Utilizando uma calculadora, determine: 
 a) 44.096 
 b) 865.536 
 c) 85.764.801 
<R->

<15>
Simplificao de radicais 

  Muitas vezes, quando necessrio, podemos escrever um radical de 
maneira simplificada. 
  Observe como podemos simplificar algumas razes. 
 
<R+>
99
 Decompomos o radicando em fatores primos. 
<R->

<F->
99 l 3
33 l 3
11 l 11
 1 l 
<F+>
 
<R+>
Como 99=3.3.11, temos: 
 99=?3.3.11*=?32.11* 
 Utilizando as propriedades n?a.
  .b*=na.nb e nan=a:
 ?32.11*=32.11=311 
 Portanto, 99=311. 
<R->

392

<F->
392 l 2
196 l 2
 98 l 2
 49 l 7
  7 l 7
  1 l
<F+>

<R+>
392=?2.2.2.7.7*=
  =?2.22.72*=
  =2.22.72=
  =2.2.7=142.
 Portanto, 392=142. 
<R->

_`[{o rapaz diz_`]
  "Simplificar um radical  
escrev-lo de maneira mais 
simples, em geral com um 
radicando menor." 

<R+>
Atividades 

Anote as respostas 
no caderno.
 
24. Determine o valor de 
  cada ''' 
 a) 175='''7 
 b) 92=2''' 
 c) '''=97 
 d) 153='''17 
 e) 3768=43''' 
 f) 3'''=3320
 
25. Simplifique as razes. 
 a) 388 
 b) 162 
 c) 4405 
 d) 32.808 
 e) 47.936 
 f) 518.711 

26. Associe os itens cujos clculos apresentam 
o mesmo resultado, escrevendo a letra 
e o smbolo romano correspondentes. 
 a) 3?53.64*  
 b) 3?54.64* 
<p>
 c) 3?54.65* 
 d) 3?54.63*
 
I) 303?5.62* 
 II) 3035 
 III) 3036 
 IV) 30330 
 
27. Observe como Vanessa introduziu o fator 
externo de 235 no radicando. 

235=323.35=
  =3?23.5*=3?8.5*=
  =340

De maneira semelhante, introduza o fator 
externo no radicando. 
 a) 336 
 b) 72 
 c) 248
 d) 633
 e) 43,5
 f) 53#,e
<p>
28. Utilizando o smbolo <, escreva os nmeros 
em ordem crescente.
 
53 -- 62 -- 73 -- 36 -- 211 -- 37 -- 82
 
Para resolver esta atividade, introduza 
no radicando o fator externo. 
<R->

<16>
Operaes com radicais 

  Em muitas situaes podemos realizar operaes com radicais, como 
adio, subtrao, multiplicao e diviso. Essas operaes podem simplificar 
expresses envolvendo radicais. 

Adio e subtrao com radicais 

  Veja como podemos calcular a expresso 48+588-300. 

<R+>
Inicialmente, simplificamos cada radical da expresso. 
<R->
<p>
<F->
48 l 2  588 l 2  300 l 2
24 l 2  294 l 2  150 l 2
12 l 2  147 l 3   75 l 3
 6 l 2   49 l 7   25 l 5
 3 l 3    7 l 7    5 l 5
 1 l       1 l       1 l
<F+>

<R+>
48=?22.22.3*=22.
  .22.3=2.2.3=43 

588=?22.72.3*=22.
  .72.3=2.7.3=143 

300=?22.52.3*=22.
  .52.3=2.5.3=103
 
Assim, temos: 
 48+588-300=43+
  +143-103
 Colocamos 3 em evidncia.
 43+143-103=
  =(4+14-10)3=83
 Portanto, 48+588-300=
  =83. 
<p>
Atividades 

Anote as respostas 
no caderno.
 
29. Simplifique as expresses. 
 a) -54-486-294 
 b) 128+50-98+242 
 c) 3189-3448-3875 
 d) 396-108+176+675

30. Calcule o permetro do retngulo, simplificando 
se possvel. 
<R->

<F->
    212 cm
 pccccccccccccc
 l             _ 
 l             _ 23 cm
 l             _
 v-------------# 
<F+>

<R+>
31. De acordo com as informaes do quadro, 
calcule o valor aproximado de: 

6~?;2,45 
 7~?;2,64 
 11~?;3,32
<p>
 a) 44+299 
 b) 224-54 
 c) -252+28 
 d) 96+11-3112
 
32. Determine os nmeros correspondentes 
a cada letra nas igualdades. 

72+A=112 

126+356=B
 
33. Considerando a=2 e b=3, qual 
das expresses corresponde a 
162-588+450? 
 a) 17a-14b 
 b) 24a-17b 
 c) 24a-14b 
 d) 14a-24b
<R->

<17> 
Multiplicao e diviso com 
  radicais 

  Veja como podemos realizar multiplicaes e divises envolvendo 
radicais de mesmo ndice. 
  Vamos calcular 80.15. 
<R+>
 80.15=?80.15*=1.200=
  =?22.22.3.52*=
  =2.2.5.3=203

Agora, vamos calcular 32.16035.
 32.16035=3?2.1605*=
  =3432=3?23.2.33*=
  =2.3.32=632

Atividades 

Anote as respostas 
no caderno.

34. Efetue os clculos. 
 a) 6486 
 b) 76.12 
 c) 31.87533 
 d) 414449 
 e) 12.143 
 f) 332035.320 

35. Calcule a rea dos polgonos, simplificando 
o resultado quando possvel. 
<p>
<F->
a)
pcccccccc
l        _
l        _
l        _ 42 m
l        _
l        _
l        _
l        _
v--------#
  18 m

b)
              .v
            .a l
          .a   l  
        .a     l  
      .a       l   
    .a         l    
  .a 354 m l     
-u-------------v------u
r::::: 396 m :::::w
<F+>

Frmula da rea do 
  retngulo: Ar=b.h
  tringulo: at=?b.h*2

36. Veja como Bruna resolveu a expresso 
63.`(14+126`). 

63.`(14+126`)=?63.14*+
  +?63`.126*=882+7.938=
  =?2.32.72*+?2.32.
  .32.72*=3.72+3.3.
  .7.2=21?2*+632=
  =842

De maneira semelhante, calcule. 
 a) 12.`(8+15`)
 b) `(6+32`).`(2-24`)

37. Determine o valor de x nas igualdades. 
 a) 34.8=4x 
 b) x.40=810 
 c) 4x2=42 
 d) 55011=x2 

38. Sabendo que a rea de um retngulo  
2336 cm2 e que seu menor lado mede 
8 cm, quantos centmetros tem o maior 
lado desse retngulo? 
<p>
39. Calcule o volume de cada paraleleppedo. 

_`[{figuras no adaptadas_`]

a) comprimento: 128 cm; largura: 32 cm; altura: 
  22 cm.
 b) comprimento: 3340 cm; largura: 335 cm; altura: 235 cm.
 
Quando possvel, simplifique o resultado. 

40. Escreva uma multiplicao de dois radicais 
cujo produto seja: 
 a) 413 
 b) 510 
 c) 2372
 
Agora, junte-se a um colega e comparem 
as multiplicaes que vocs fizeram. 
<p>
41. Simplifique a expresso. 
 2.`(126+56`)-3.
  .`(84-3+48`) 
<R->

<18>
Racionalizao de denominador 

  Observe algumas fraes cujos denominadores so razes no exatas. 

<R+>
510 -- 411 -- 26 -- 73 -- 8?215*
<R->

  Para facilitar as operaes entre fraes com essa caracterstica, 
podemos utilizar um artifcio chamado racionalizao de denominador. 
  Esse artifcio consiste em transformar uma frao em outra 
equivalente de maneira que no haja radical em seu denominador. 
  Veja, por exemplo, como podemos racionalizar o denominador de 510.
 
<R+>
Inicialmente, temos de determinar a frao conveniente que 
multiplicar 510. Como 10.10=100=10, multiplicamos a frao por 1010, 
eliminando assim a raiz do denominador. 

510=510.1010=
  =51010=102

Note que 1010=1.
 Assim, ao multiplicarmos 510 por essa frao, no alteramos seu valor.

Utilizando uma calculadora, podemos verificar que 510=102.
 Primeiro calculamos 10. Para 
isso, registramos o nmero 10 e 
digitamos a tecla . 

3.1622776
 
10~?;3,1622776
<p> 
Em seguida, obtemos o 
valor aproximado de 510,
dividindo 5 por 3,1622776. 

1.5811388

510~?;1,5811388
 
Agora, calculamos o valor 
aproximado de 102. Para isso, 
dividimos 3,1622776 por 2. 

1.5811388
 
102.1,5811388 
 
Portanto, 510=102.
<R->

  Ao realizarmos por escrito o clculo aproximado de 510 e 102, sabendo 
que 10~?;3,162, perceberemos que  mais prtico o clculo em que o 
denominador no  um radical.

<R+>
510~?;53,162
 102~?;3,1622
<R->
 
<19>
<R+>
Atividades 

Anote as respostas 
no caderno. 
 
42. Racionalize o denominador de cada 
frao. 
 a) 32
 b) 15
 c) 514
 d) 126
 e) 127
 f) #:h

43. Na lousa, h duas maneiras diferentes de 
racionalizar o denominador de 325.

1 maneira
 325=325.2525=
  =65452=352.5=
  =3510

a) Ambas as maneiras de racionalizao 
de denominadores esto corretas? 
Por qu? 
 b) Qual dessas maneiras voc prefere? 
Por qu? 
 c) Racionalize o denominador de cada 
frao da maneira que preferir. 

9?42*
 1?811*
 6?53*
 10?76*

44. Considerando 5~?;2,24, calcule o valor 
aproximado de -420.
 
45. Determine a medida do menor lado do retngulo, 
sabendo que sua rea  62 cm2. 
<R->

<F->
  pccccccccccccc
  l             _ 
  v-------------# 
    214 cm
<F+>

<R+>
46. Observe como podemos racionalizar o 
denominador de 8322.
<p>
8322=8322.32
  32=8323?22.2*=
  =832323=8322=
  =432

Agora, racionalize os denominadores das 
fraes. 
 a) 7835
 b) 465
 c) 9735
 d) 610154

47. Calcule o volume do paraleleppedo e racionalize 
o denominador, se necessrio. 

_`[{figura no adaptada_`]

Comprimento: 4 dm; largura: 33 dm; altura: 42 dm.

48. Veja como Rodrigo racionalizou o denominador 
de 5?3+2*.
<p>
5?3+2*=5?3+2*.
  .?3-2*?3-2*=?5.
  .`(3-2`)*?`(3+2`).
  .`(3-2`)*=?5.3-52*
  ?32-`(2`)2*=?15-
  -52*?9-2*=?15-52*7

a) Qual dos produtos notveis a seguir 
Rodrigo utilizou na racionalizao? 
 `(a+b`)2=a2+2ab+b2 
 `(a-b`)2=a2-2ab+b2 
 `(a+b`).`(a-b`)=a2-b2 
 b) De maneira semelhante, racionalize o 
denominador de: 
 9?9+5*
 13?1-7*
 3?8-4*
 1?10+6*
<R->

<20> 
<R+>
Refletindo sobre o captulo 

Anote as respostas 
no caderno.
 
1. Quais foram os contedos abordados neste captulo? 
 2. Descreva os procedimentos utilizados para calcular a raiz quadrada 
aproximada por
meio do mtodo de Hero. 
 3. Leia o que Cssia est dizendo. 
<R->

  " possvel calcular a raiz 
quinta de -32 no conjunto 
dos nmeros reais." 

<R+>
Essa afirmao  verdadeira? Justifique. 

4. Como voc faria para escrever a potncia a0,25, com a>0, por meio 
de um radical?
 5. Sendo *m*, *n* e *p* nmeros naturais maiores que 1, a igualdade nam=?n+p*a?m+p*  verdadeira?
Justifique por meio de um exemplo numrico. 
 6. Quais as vantagens de racionalizar o denominador de uma frao? 
 7. Observe as imagens e, a partir dos contedos estudados neste 
captulo, elabore e escreva algumas questes relacionadas a elas. Junte-se a um colega, troquem 
as questes que vocs elaboraram e discutam as resolues. 

_`[{seis imagens adaptadas_`]

1 -- uma calculadora, destacando a tecla 
 2 -- um cubo formado por quatro cubinhos ao comprimento, quatro 
cubinhos na largura e quatro cubinhos na altura.
 3 -- um quadro de giz com o seguinte clculo:
 123+6=123+6.
  .3-6'''='''

4 -- uma tela de comprimento: ??2?2***
 5 -- uma folha de caderno com as anotaes: 
 nan=a
 nam=?n.q*a?m.q*
 nam=?nq*a?mq*
 n?a.b*=na.nb
 n?ab*=nanb
<p>
 n?ab*=nanb
 n?pa*=?n.p*a
<R->

<F->
6 -- 
 !::::+:: 
 l_-_  l_-_
 r::j  h::w
 l        _
 l        _ 26 cm
 l        _
 r::  +::w
 l_-_  l_-_
 h::j::h::j 
     x
<F+>

<21> 
<R+>
Reviso 

Anote as respostas 
no caderno. 

49.Responda s questes. 
 a) Qual a medida do lado de um quadrado 
cuja rea  289 cm2? 
 b) Se o volume de um cubo  
  343 cm3, 
qual a medida de sua aresta? 
<p>
50. Calcule. 
 a) 3-216
 b) 41
 c) 5-32
 d) 3?27343*
 e) 5243
 f) 4256

51. A figura apresenta dois cubos. Sabendo 
que o volume do cubo maior  729 cm3, 
determine o volume do cubo menor. 

_`[{figura no adaptada_`]
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
52. Realize as simplificaes necessrias 
e escreva cada expresso por meio de 
radicais. 
 a) `(6#:h`)4
 b) 35.3#,b
 c) 2#=f2#?f
 d) `(9#g`)3
 e) 7#;e.7
 f) 848#,c
<p>
53. Considere as igualdades. 
 A=364+5-243-49#,b
 B=(34)#,b-7128-256#,b
 C=643-(363)#,f+3216
 
De acordo com essas igualdades,  correto 
afirmar que: 
 a) A>B>C 
 b) A-B<C 
 c) A<B<C 
 d) A<C<B 
 e) A+B<C 
 f) A<B+C 

54. Determine o nmero correspondente a 
cada ''' nas igualdades. 
 a) 33.34=3'''
 b) 15'''=15
 c) 1282='''8
 d) 74.7'''=7-12
 e) 2436=83'''
 f) 109=102710'''
<p>
55. Transforme em um nico radical. 
 a) 6?34*
 b) 5?21*
 c) 4?7?6**
 d) 8#;i=1018

56. Verifique se cada igualdade  verdadeira 
ou falsa. 
 a) 434=3
 b) `(-1`)2=-1
 c) 5`(-2`)5=-2
 d) 3`(#,d`)3=0,25
 
57. Determine um radical com ndice 8 que 
seja equivalente a 12521. 

58. Sabendo que 3~?;1,73, veja como podemos 
calcular o valor aproximado de 27. 

27=33=32.3=
  =33~?;3.1,73=5,19

Com o auxlio do quadro azul, calcule o 
valor aproximado de: 

_`[{quadro azul_`]

5~?;2,24
 32~?;1,26

a) 3.125
 b) 180
 c) 3128
 d) 3432

Se necessrio, 
decomponha o radicando 
em fatores primos. 

59. Sabendo que 36~?;1,8, calcule o valor 
aproximado de 3750. 

60. Copie os itens substituindo cada ''' pelo 
smbolo >, < ou =. 
 a) 210'''38 
 b) 35'''45 
 c) 73'''45 
 d) 611'''77 
 e) 218'''62 
 f) 532'''433
<R->

<22>
<p>
<R+>
61. Sabendo que a=8,6, 4b=1,5 e 8c=4,3, calcule o valor de 
8??a4`.b2*c*.

62. Desafio 
 Qual o valor de n na igualdade 8+18=n2? 

63. Determine. 
 a) 63+252 
 b) 20-80 
 c) 354+3128 
 d) 6.30 
 e) 316.316 
 f) 20417 

64. Calcule a medida do segmento de reta {a{b 
em cada item.
<R->

a) 
<F->
r::::: 50 cm :::::::w 
o:::::o:::::::::::::o
A     B             C
        r:: 18 cm ::w   
<p> 
b)
         r::::: 289 cm :::::w
o:::::::o:::::o::::::::::::::o
C       A     B              D
r::: 180 cm ::w
r::::::::: 380 cm :::::::::::w
<F+>
 
<R+>
65. A figura apresenta as dimenses internas 
de um reservatrio com forma de paraleleppedo. 

_`[{dimenses: comprimento: 
  11 cm; largura: 6 cm; 
  altura: 22 cm_`]

a) Escreva, por meio de um nico radical, 
o volume desse reservatrio. 
 b) O volume desse reservatrio  maior, 
menor ou igual ao volume de um reservatrio 
cbico cuja medida da aresta interna  22 cm? 
<p>
66. Determine o valor das expresses. 
 a) 3.`(18+32`)-114
  19 
 b) 12.`(3-12`)+2.`(6-
  -16`) 

67. Racionalize os denominadores. 
 a) 415
 b) 96
 c) 6522
 d) 8?10+3* 

Testes

Anote as respostas 
no caderno. 

68. (PUCRJ) O valor de ?67-?6+9**  
igual a:
 a) -3
 b) -9
 c) 8
 d) 4
 e) 2
<p>
69. (UFC-CE) O valor da expresso 
3729-364 : 
 a) -1 
 b) 0 
 c) 1 
 d) 2 
 e) 3 
 
70. (UFCCE) Dentre as alternativas a seguir, 
qual  aquela que contm o maior 
nmero?
 a) ?35.6**
 b) ?635*
 c) ?536
 d) 3?56*
 e) 3?65*
 
71. (OBM) 1212  igual a: 
 a) 66 
 b) 1223 
 c) 212.36 
 d) 612 
 e) 1212
 
72. (UFRR-RR) O valor da expresso 
(256)-#:d : 
 a) -3(256)4
 b) 64
 c) -4(256)3
 d) -#,fd
 e) #,fd

73. (UPFRS) Simplificando a expresso 5??317-
  -316*6*, obtm-se o valor: 
 a) 27 
 b) 5#:b
 c) 5#,b
 d) ?3#,=e-3#,"e*6
 e) #:b

74. (PUCRJ) A expresso ?5+5*.?5-5* 
 igual a: 
 a) 0  
 b) 5 
 c) 5-5 
 d) 25 
 e) 20
<R->

               oooooooooooo

<23>
<p>
<R+>
Captulo 2 -- Equaes do 2 grau e 
sistemas de equaes
 
_`[{trs imagens adaptadas_`]

I -- Uma vista area com uma regio ampliada. A regio com forma quadrada 
de lado x e rea de 160.000 m2. Legenda: Vista superior de uma regio 
onde  possvel observar o estdio do Maracan, no Rio de Janeiro. 
 II -- equaes em um quadro de giz: 
 2x2=0
 x2-9=0
 x2+6x=0
 x2-5x+6=0
 III -- Uma frmula: x=-b!:-?b2-4ac*2a 

Conversando sobre o assunto 
 a) Na imagem I foi ampliada uma regio de forma quadrada. Que 
equao voc
escreveria para determinar a medida x? 
 b) Na imagem II esto indicadas algumas equaes. Quais so as 
semelhanas e as diferenas entre elas? 
 c) Na imagem III  apresentada uma frmula, chamada frmula 
resolutiva. Em sua opinio, para que serve essa frmula? 
<R->

<24>
<R+>
Equaes do 2 grau com uma 
  incgnita 
<R->

  Em anos anteriores estudamos as equaes, isto , sentenas 
matemticas expressas por igualdades em que h pelo menos uma letra que 
representa um nmero desconhecido, chamada incgnita. As equaes estudadas eram do 
1 grau, pois o maior expoente das incgnitas era 1. Exemplos: 

  x-4=12 
  -5x+3=-16 
  9-7x=3x+7

  Neste captulo, vamos estudar outro tipo de equao, cujo maior 
expoente da incgnita  2. 
  Veja uma situao que est associada a uma equao desse tipo. 
  Henrique cercou com tela um terreno em forma de quadrado cuja rea  
169 m2. Quantos metros de tela, no mnimo, Henrique utilizou?
  Inicialmente, precisamos calcular quantos metros tem cada lado do 
terreno. Para isso, vamos chamar de *x* a medida do lado do terreno e escrever a 
seguinte equao: 

  x.x=169
  x2=169

  Temos que h dois nmeros cujo quadrado  169, isto : 

  x=+169
  x=+13
  x=-169
  x=-13
<p>
  Nesse caso, x corresponde  medida do lado do terreno. Assim, 
desconsideramos o valor negativo `(-13`), pois essa medida deve ser positiva. 
  Portanto, a quantidade mnima de tela utilizada para cercar o terreno 
 dada por: 4.13=52 :> 52 m.

_`[{o moo diz_`]
  "Note que, na equao x2=169, 
o maior expoente da incgnita 
 2. Dizemos que essa  uma 
equao do 2 grau com uma 
incgnita."
 
<R+>
Equao e lgebra: A parte da Matemtica que estuda equaes e clculos em que letras 
representam nmeros  chamada lgebra. Os primeiros vestgios de 
clculos efetuados com letras foram identificados com o matemtico 
grego Diofanto de 
  Alexandria (cerca de 250 d.C.). Porm, somente 
sculos depois, com o matemtico francs 
  Franois Vite (1540-1603), 
 que a lgebra adquiriu uma forma prpria, com a introduo da 
primeira notao algbrica sistematizada.

_`[{foto_`]
 Legenda: matemtico francs Franois Vite
<R->
 
<25>
<R+>
Uma equao do 2 grau com incgnita x pode ser escrita da seguinte 
maneira: ax2+bx+c=0, em que *a*, *b* e *c* so nmeros reais com a=0.
 Essa igualdade  chamada forma reduzida de uma equao do 2 grau. 
Nela, *a*, *b* e *c* so os coeficientes, sendo *a* o coeficiente de x2, *b* o 
coeficiente de *x* e *c* o termo independente. 
 As equaes do 2 grau em que *a*, *b* e *c* so diferentes de zero so 
chamadas completas. J aquelas em que b=0, c=0 ou b=c=0 so 
chamadas incompletas. 
 Exemplos. 
 Equao do 2 grau completa: 
 x2-2x+15=0, com a=1, b=-2 e c=15 
 Equao do 2 grau incompleta do tipo ax2+bx=0: 
 2x2+x=0, com a=2, b=1 e c=0 
 Equao do 2 grau incompleta do tipo ax2+c=0: 
 -x2+6=0, com a=-1, b=0 e c=6 
 Equao do 2 grau incompleta do tipo ax2=0: 
 7x2=0, com a=7, b=0 e c=0 

Atividades 

Anote as respostas 
no caderno.
 
1. Quais equaes so do 2 grau? 
 a) x+5x2=2 
 b) 5-3x=x2 
 c) 10x+40=7 
 d) -#=bx+1=21x
 e) -x2+18=5+4x2
 f) 3x+16=12-x
<p>
 g) x2+3=5x2+1
 h) 3x2+2x=0

2. Para os coeficientes indicados em cada 
item, escreva uma equao do 2 grau 
na forma reduzida. 
 a) a=2, b=#,b e c=5 
 b) a=-3, b=1 e c=-1 
 c) a=5, b=0 e c=-1 
 d) a=#;c, b=#?c e c=0
 e) a=-#,c, b=-2 e c=#:b

3. Indique os coeficientes de cada equao 
e classifique-as em completa ou incompleta. 
 a) -x2+4=0 
 b) x2+2x-#,b=0
 c) #,bx2+2x=0
 d) -3x2+7=0
 e) #,ix2-x+2=0
 f) 32x2+#;ex+1=0
<p>
4. Desafio 
 Observe a equao que Milena escreveu 
no caderno. 

2mx2+`(m-2`).x-m=0

Nessa equao, a incgnita  representada 
pela letra x e os coeficientes so: 
a=2m, b=`(m-2`) e c=-m. 
 Para qual valor de m essa equao: 
 a) no  do 2 grau? 
 b)  do 2 grau incompleta? 

A uma equao que apresenta outras letras alm 
da incgnita, damos o nome de equao literal. 

5. Escreva as equaes na forma reduzida. 
 a) (2x+1).`(x2-2`)=x+5
 b) `(2x3+1`).3x=5.`(x-4`)+20
 c) x2-`(x-1`).(2x-2)=3x
 d) `(x3`)2-5x=x-1
<R->

<26>
<p>
<R+>
6. Escreva trs equaes do 2 grau: 
 a) completas 
 b) incompletas do tipo ax2+bx=0 
 c) incompletas do tipo ax2+c=0 

7. Resolver uma equao  determinar o valor 
desconhecido da incgnita, ou seja, 
obter a soluo ou a raiz da equao. 
Uma das maneiras de obtermos a soluo 
de uma equao do 2 grau  por 
meio de tentativas, atribuindo valores  
incgnita at chegar a uma igualdade 
verdadeira. Observe um exemplo. 

x2+x-2=0
 x=1  soluo da equao, pois 12+1-2=0.
 x=2 no  soluo da equao, pois 22+2-2=0
<p>
Em cada item, verifique quais dos nmeros 
indicados so razes da equao. 
 
a) x2-4=0 

x=-1 x=-2 x=2 

b) x2+2x+1=0 

x=1 x=-1 x=#?b

c) -#:dx2+x+1=0

x=2 x=-8 x=5
 
d) x2-x-2=0
 
x=-1 x=-#?h x=2 

e) 4x2-5x=0
 
x=-3 x=#?d x=10

8. Escreva uma equao do 2 grau na forma 
reduzida que represente a situao 
em cada item. 
 a) A rea de um quadrado de lado medindo 
2x+1 cm  igual a 
  16 cm2. 
 b) O quadrado de um nmero x, menos 
8,  igual a 6. 
 c) Um nmero x, menos 15,  igual ao 
quadrado de x. 
 d) O triplo do quadrado de um nmero x, 
menos o dobro desse nmero,  igual 
 quinta parte de x. 

9. O quadrado e o losango a seguir possuem 
reas iguais.
 
_`[{figuras adaptadas_`]

Um quadrado de lado 3x4 e um losango cujas diagonais medem x+2 e x-1.

a) Escreva uma equao do 2 grau na 
forma reduzida que represente essa 
igualdade. 
 b) Quais so os coeficientes dessa equao? 
Ela  completa ou incompleta?
 
10. Desafio 
 Junte-se a um colega e, com base nas equaes 
a seguir, resolvam as questes. 
 I) x.`(x-2`)=0 
 II) `(x+3).`(2x+10)=0
 
a) Realizem os clculos necessrios e 
escrevam cada equao na forma 
reduzida. 
 b) Obtenham, por tentativa, as solues 
de cada uma das equaes. 

Anotem os procedimentos utilizados 
para resolver o item *b*. 
<R->

<27>
<R+>
Resoluo de equaes do 2 grau
<R->
 
  A resoluo de equaes quadrticas foi abordada por diversos 
povos no decorrer da histria, como os rabes, hindus e babilnios. 
Em cerca de 2000 a.C. os babilnicos j resolviam equaes 
quadrticas, em alguns casos com o auxlio de figuras. No sculo XV, na obra 
*Summa*, o frade italiano Luca Pacioli (1445-1509) apresentou diversos 
problemas envolvendo equaes quadrticas. Nessa obra, Pacioli 
utilizou algumas abreviaes como *co* (de cosa ou "coisa") para a incgnita 
x e *ce* (de censo) para x2. 
  Neste captulo, vamos estudar a resoluo de equaes do 2 grau 
incompletas e completas. 

<R+>
_`[{figuras no adaptadas_`]
 Legenda: Pgina de uma das 
edies do livro *Summa*, de Luca Pacioli.
 
Resoluo de equaes incompletas do tipo ax2+c=0 
<R->

  A professora de Jssica escreveu a seguinte atividade na lousa. 

<R+>
Resolva as questes.
 a) x2-64=0
 b) 4x2-46=3
 c) 3x2+25=4
<R->

_`[{a professora diz_`]
  "Note que nessas 
equaes o coeficiente 
*b*  igual a zero `(b=0`)."

  Veja como Jssica resolveu cada uma dessas equaes. 

<R+>
a) x2-64=0
 x2-64+64=0+64 (adiciono 64 nos dois membros)
 x2=64 (calculo a raiz quadrada nos dois membros)
 x=64=8 ou x=-64=-8  
 Portanto, as razes da equao so 8 e -8.

b) 4x2-46=3
 4x2-46+46=3+46
 4x2=49
 4x24=#*d
 x2=#*d
 x=#*d=#=b ou x=-#*d=-#=b
 Portanto, as razes da equao so #=b e -#=b.
<R->

<28>
<p>
<R+>
c) 3x2+25=4
 3x2+25-25=4-25
 3x2=-21
 3x23=-#;,c
 x2=-7
 Como no existe um nmero real que elevado ao quadrado seja igual a -7, ento 
no existe nmero real x que seja soluo da equao. Portanto, 3x2+25=4 no tem razes reais.
<R->
 
  Nas equaes do tipo ax2+c=0 que possuem solues reais, as razes 
so opostas. Se representarmos as razes das equaes *a* e *b* na reta 
numrica, temos: 

<F->
a)
            O
 ::r:::::::::r:::::::::w::>
  -8                  8
<p>
b) 
            O
 :::::::r::::r::::r:::::::>
      -#=b      #=b
<F+>

<R+>
As equaes do 
tipo ax2+c=0 
tm duas razes 
reais diferentes 
e opostas ou no 
tm razes.
 
Resoluo de equaes incompletas do tipo ax2+bx=0
<R->
 
  Agora, veja outras equaes que a professora de Jssica escreveu. 

<R+>
Resolva as equaes.
 a) x2-8x=0
 b) 6x2+18x=0
<R->

  Observe como Jssica resolveu essas equaes. 

<R+>
a) x2-8x=0
 x.`(x-8`)=0 (coloco o fator comum x em evidncia) 
 como o produto dos fatores  zero, pelo menos um deles  zero.
<p>
 Assim, temos:
 x=0 ou 
 x-8=0
 x-8+8=0+8
 x=8
 Portanto, as razes da equao so 0 e 8.
<R->

<29>
<R+>
b) 6x2+18x=0
 x.(6x+18)=0
 Assim, temos:
 x=0 ou
 6x+18=0
 6x+18-18=0-18
 6x=-18
 6x6=-#,"f
 x=-3
 Portanto, as razes da equao so 0 e -3.
<R->
 
  Se representarmos as razes das equaes *a* e *b* na reta numrica, 
temos:
<p>
<F->
a)
          O
 ::::::::::r::::::::r::>
          0       8

b)
           O
 :::::::r:::r::::::::::>
      -3  0
<F+>

 _`[{a professora diz_`]
  "As equaes do tipo ax2+bx=0 
tm duas razes reais, das quais 
uma  zero."

<R+>
Resoluo de equaes incompletas do tipo ax2=0
<R->
 
  Agora, veja outra equao que a professora de Jssica escreveu.
 
<R+>
Resolva a Equao.
 9x2
<R->

  Observe como Jssica resolveu essa equao. 
<p>
<R+>
9x2=0
 9x29=#}i
 x2=0
 x.x=0
 Portanto, a equao tem duas razes iguais a 0.  
<R->

_`[{a menina diz_`]
  "As equaes do 
tipo ax2=0 tm 
duas razes reais 
e iguais a zero." 

<30>
<R+>
Atividades 

Anote as respostas 
no caderno.
 
11. Calcule as razes da equao: 
 a) 5x2-20=0
 b) 23x2=0
 c) x2+x5=0
 d) 7x2-21=0
 e) 2x2+5x=0
 f) -x2+4x=0
<p> 
12. Determine a medida dos lados de cada 
retngulo.

_`[{retngulos adaptados_`]
 
a) lados: x+1 e x-2; rea: (5x-2)m2
 b) lados: x+1 e 10-x; rea: (9x-6)m2
 c) lados: x-1 e x+4; rea: (7x-4)m2

13. Quais das equaes a seguir no possuem 
razes reais?
 I) -x2-5=0
 II) x2+13=0
 III) x25-#,b=0
 IV) -x2+2=0
 V) x2+7=4
 VI) x23-1=1
 
14. Para quais valores de y a expresso 
5y23-17y6+1  igual a (2y-1)2? 

15. Determine as medidas das bases do trapzio 
sabendo que sua rea  20 cm2.
<p>
_`[{trapzio adaptado_`]

base maior: -2x5+9; base menor: 4x5-1; altura: -x5+5

Lembre-se de que a rea 
do trapzio  dada por: A=?`(B+b`).h*2

16. Escreva uma equao do 2 grau que 
represente a fala de cada pessoa. Depois, 
obtenha a soluo das equaes 
que voc escreveu.
<R->

_`[{natlia diz_`]
  "O dobro do quadrado de 
um nmero  igual a 32."

_`[{fernando diz_`]
  "Metade de um nmero 
 igual ao quadrado 
desse nmero."

_`[{ludimila diz_`]
  "O quadrado de um nmero, 
menos 5  igual a 0."
<p>
_`[{gabriel diz_`]
  "O quadrado da soma de 
um nmero e 3  igual a 9."
 
<31> 
<R+>
17. Uma piscina ocupa uma superfcie retangular 
de 35 m2. Determine as dimenses 
da superfcie dessa piscina sabendo que 
seu comprimento tem 2 m a mais que 
sua largura.
 
18. Sabendo que em cada item as figuras indicadas 
tm reas iguais, determine o 
valor de x. 

_`[{figuras adaptadas_`]
 a) retngulo -- lados: 2x e x-1
  retangulo -- lados: x+2 e x
 b) quadrado -- lados: x
  tringulo retngulo -- lados: #?dx e 2x-2

19. As equaes `(x-2`)2=-4x+13 e 2x2-18=0 
so equivalentes, ou seja, 
possuem as mesmas solues? Justifique. 

20. Verifique se as afirmativas so verdadeiras 
ou falsas. 
 a) Toda equao do 2 grau possui solues 
reais. 
 b) Uma equao do 2 grau pode ter 
duas razes iguais. 
 c) O zero  soluo de todas as equaes 
do tipo ax2+bx=0. 
 d) Equaes do tipo ax2+c=0 podem 
ter duas razes opostas. 
 e) As razes da equao x2-2x-15=0 
so x=-3 e x=7.
 
21. Calcule as razes de cada equao. 
 a) (2x+3)2-9=12x
 b) (3x-1)2=1
 c) `(x-2).`(x+4)=2.`(x+4)
 d) -15x+x23=x2+5.`(x2=
  =3x`)
<p>
22. Determine as razes da equao indicada 
no quadro sabendo 
que x representa a 
incgnita e m=0.
 
mx2=3mx
 
23. Sabendo que os paraleleppedos tm volumes 
iguais, determine: 

_`[{figuras adaptadas_`]

I -- comprimento: 4x-2 m; largura: 2x e altura: x
 II -- comprimento: 4x3+#,c m; largura: 2x e altura: 3x-2 m

a) a medida de suas dimenses 
 b) o volume de cada um deles

24. Desafio 
 Quais so as solues da equao 
2x2.`(x2-3).`(-3x2+
  +12)=0?
<R->
 
<32> 
<p>
<R+>
Resoluo de equaes do 2 grau completas
<R->

  Para calcular as razes de uma equao do 2 grau completa podemos 
utilizar trs mtodos: fatorao, completar quadrados ou frmula resolutiva. 

Fatorao 

  Vamos determinar as razes de x2-14x+49=9 por fatorao. 
  Nessa equao, o 1 membro  um trinmio quadrado perfeito. Assim, 
podemos escrev-la da seguinte maneira:
 
<R+>
x2-14x+49=9
 `(x-7).`(x-7)=9
 `(x-7)2=9
<R->

  Como h dois nmeros cujo quadrado  igual a 9, temos: 
<p>
<R+>
x-7=+9
 x-7=3
 x-7+7=3+7
 x=10

x-7=-9
 x-7=-3
 x-7+7=-3+7
 x=4
<R->

  Portanto, as razes da equao so 4 e 10. 

<R+>
Trinmios quadrados perfeitos so expresses 
que podem ser escritas na forma a2+2ab+b2 
e a2-2ab+b2. Essas expresses so obtidas 
por meio do quadrado da soma ou da diferena 
de dois termos. 
<R->

Completar quadrados 

  H equaes do 2 grau em que o 1 membro no  um trinmio quadrado 
perfeito. Nesses casos, podemos determinar as razes da equao 
utilizando o mtodo de completar quadrados. 
  Esse mtodo foi utilizado pelo matemtico rabe al-Khowarizmi por 
volta de 825 d.C. em seu livro *Al-Jabr wa'l muqabalah*. Ele consiste na 
construo de quadrados e retngulos para obter as razes da equao. 

<R+>
Al-Khowarizmi: Foi o ttulo do 
livro Al-Jabr w'al 
muqabalah, do 
matemtico rabe 
  al-Khowarizmi, 
que deu origem ao 
termo lgebra. 
<R->

  Observe como podemos calcular as razes de x2+8x+7=0 utilizando 
o mtodo de completar quadrados. 
  Como o 1 membro dessa equao no  um trinmio quadrado perfeito,  
preciso acrescentar um nmero apropriado aos dois membros da igualdade 
para poder fator-lo. Para isso, inicialmente isolamos 
<p>
 o termo 
independente no 2 membro da equao. 

<R+>
x2+8x+7=7=0-7
 x2+8x=-7

Escrevemos o 1 membro da equao de maneira 
conveniente e o representamos geometricamente, 
como mostra a figura. 
<R->

<F->
       x     4
    !:::::::::::
 x  l      _     _
    l x2 _ 4x _ 
    r::::::w:::::j
    l      _  
 4 l 4x  _   
    h::::::j
<F+>

<R+>
x2+8x=x2+2.4.x
 
x2 :> rea de um 
quadrado com 
lados medindo x 

4.x :> rea de um 
retngulo com lados 
medindo 4 e x 
<R->

<33> 
  Observando a figura, podemos notar que para complet-la a fim de obter 
um quadrado, temos de acrescentar um quadrado com 4 unidades de 
lado.

<F->
   r:::: x+4 ::::w
       x      4
   !:::::::::::::
   l       _      _
x  l x2  _ 4x  _ 
   l       _      _
   l       _      _
   pccccccccccccc 
4 l 4x   _ 42_
   h:::::::j::::::j
<F+>
 
  Dessa maneira, para obtermos um trinmio quadrado perfeito no 1 
membro da equao, acrescentamos 42 aos dois membros: 

<R+>
x2+8x+42=-7+42 
 x2+8x+16=9
<R->
<p>
  Agora, fatoramos o trinmio quadrado perfeito e resolvemos a 
equao:

<R+>
x2+8x+16=9
 `(x+4`)2=9

x+4=+9
 x+4=3
 x+4-4=3-4
 x=-1

x+4=-9
 x+4=-3
 x+4-4=-3-4
 x=-7
<R->

  Portanto, as razes da equao so -1 e -7. 

Frmula resolutiva 

  Outra maneira de resolvermos uma equao do 2 grau  por meio de uma 
frmula, chamada frmula resolutiva, que consiste na generalizao do 
mtodo de completar quadrados. 
  Utilizando essa frmula,  possvel obter as razes de uma equao do 
2 grau por seus coeficientes.
 
frmula resolutiva

<R+>
x=?-b!:-b2-4ac*2a
 
Frmula resolutiva: No Brasil, a frmula resolutiva tambm  conhecida 
como frmula de Bhaskara. Esse nome  dado em 
homenagem ao matemtico hindu Bhaskara (1114-1185), 
em virtude de suas contribuies ao estudo da resoluo 
de equaes do 2 grau.
<R->
 
<34> 
  Veja como podemos deduzir a frmula resolutiva. 
  Inicialmente, dividimos cada termo da equao do 2 grau ax2+bx+c=0
por *a*. Depois, 
<p>
 isolamos o termo independente no 2 membro.
 
aax2+bax+ca=0
 x2+abx=-ca
 
  Escrevemos o 1 membro da equao de maneira conveniente e o 
representamos geometricamente como mostra a figura. 

<R+>
x2+bax=x2+2`.b2~a.x
 
x2 :> rea de um 
quadrado com 
lados medindo x
 2a :> rea de um 
retngulo com lados 
medindo x e b2a 
<R->

<F->
             x      b2a
        !::::::::::::::::::
        l         _         _
   x    l   x2  _ b2ax _ 
        l         _         _ 
        r:::::::::w:::::::::j 
        l         _ 
b2~a  l b`2~ax _  
        h:::::::::j
<F+>

_`[{o menino diz_`]
  "Ao simplificarmos 
2`.~b2~a.x, 
obtemos bax."
 
  Observando a figura, podemos notar que, para complet-la e obter um 
quadrado, temos de acrescentar um quadrado com b2a unidades de lado.
 
<F->
        r:::::: x+b2a ::::::w   
             x      b2a
        !:::::::::::::::::::::
        l         _            _
   x    l   x2  _ b2ax    _ 
        l         _            _ 
        r:::::::::w::::::::::::j 
        l         _            _
b2a  l b2ax _ `(b2a`)2_
        h:::::::::j::::::::::::j
<F+>

  Dessa maneira, para obtermos um trinmio quadrado perfeito no 1 
<p>
 membro da equao, acrescentamos `(b2a`)2 aos dois membros: 

<R+>
x2+bax+`(b2a`)2=
  =-ca+`(b2a`)2
 x2+bax+b24a2=
  =b24a2-ca
<R->

<35> 
  Agora, fatoramos o trinmio quadrado perfeito e isolamos a incgnita 
x no 1 membro. 

<R+>
`(x+b2a`)2=b24a2-ca
 `(x+b2a`)=?b2-4ac*4a2

Se b2-4ac for maior ou igual a zero, 
podemos extrair a raiz quadrada nos 
dois membros da igualdade. 

x+b2a!:-?b2-4ac*2a
 x=-b2a!:-?b2-4ac*2a
 x=?-b!:-?b2-4ac*2a
<R->
<p>
  Na frmula, b2-4ac  chamado discriminante e pode ser substitudo 
por d. Assim, temos:
 
<R+>
x=?-b!:-d*2a

Letras gregas: O smbolo d (l-se 
delta) corresponde  4 letra do alfabeto 
grego. 

As razes de uma equao do 2 grau so dadas por: 
x1=?-b+d*2a e 
  x2=?-b-d*`2~a, com d=b2-4ac e d>=0
<R->

  Utilizando essa frmula, vamos calcular as razes da equao x2+3x-10=0.

<R+>
a=1
 b=3
 c=-10
<p>
d=b2-4ac
 d=32-4.1.`(-10`)
 d=9+40
 d=49

x=?-b!:-d*2a=?-3!:-49*
  ?2.1*=?-3!:-7*2
 x1=?-3+7*2=#b=2
 x2=?-3-7*2=-#,}b=-5
<R->

  Portanto, as razes da equao so 2 e -5. 

_`[{o moo diz_`]
  "Para verificar se a resoluo est 
correta, substitumos os valores de 
x1 e x2 na equao. Se obtivermos 
sentenas verdadeiras, x1 e x2 so 
as razes da equao." 

<R+>
Para x1=2:
 22+3.2-10=0
 4+6-10=0
 0=0 (sentena verdadeira)
<p>
Para x2=-5:
 `(-5`)2+3.`(-5`)-10=0
 25-15-10=0
 0=0 (sentena verdadeira)
<R->

<36>
<R+>
Atividades 

Anote as respostas 
no caderno.

25. Utilizando o mtodo da fatorao, determine 
as razes das equaes. 
 a) x2-4x+4=9 
 b) x2+12x+36=0 
 c) 4x2-12x+9=16 
 d) x2-x+#,d=25

26. Resolva as equaes utilizando o mtodo 
de completar quadrados. 
 a) 4x2+12x+5=0 
 b) x2+#,}cx+1=0
 c) x2+13x+40=0
 d) x2+#,?bx+9=0

27. Determine as razes de cada equao pelo 
mtodo de fatorao ou pelo mtodo 
de completar quadrados. 
 a) x2+12x-12=1 
 b) 4x2-4x+1=4 
 c) x2-6x+9=0 
 d) 16x2+16x+2=34
 
28. Sabendo que a rea do quadrado  8 cm2 
maior que a rea do retngulo, calcule o 
valor de x. 

_`[{figuras adaptadas_`]

quadrado -- lado: 3x
 retngulo -- lado: 4x-1 cm e 2x

29. Para cada um dos quadrados, escreva 
uma equao do 2 grau na forma reduzida 
para representar sua rea. Em seguida, 
resolva a equao.

_`[{figuras adaptadas_`]

quadrado azul -- lado: x+1 cm; rea: 25 cm2
<p>
 quadrado verde -- lado: x+#:b cm; rea: #",d cm2
 
30. Desafio 
 Resolva o problema utilizando o mtodo 
de completar quadrados.
 
Um terreno retangular possui 
  300 m2 de 
rea, sendo um de seus lados 5 m 
maior que o outro. Nesse terreno, no 
ser construdo muro apenas no lado 
que est voltado para a rua. 
Quantos metros de comprimento ter 
o muro construdo nesse terreno?
 
31. Determine as razes das equaes utilizando 
a frmula resolutiva. 
 a) 2x2+x-1=0 
 b) 2x2+2x-24=0 
 c) 3x2-4x-2=-3 
 d) #,dx2+5x4-6=0
 e) x2+5x-2=-8
<p> 
32. Escreva uma equao do 2 grau que 
represente cada situao e, em seguida, 
resolva-a. 
 a) A tera parte de um nmero mais o 
dobro do quadrado desse nmero  
igual a 4. 
 b) O quadrado de um nmero, menos seu 
triplo, mais 4  igual a 8. 
 c) O quadrado da metade de um nmero 
mais o qudruplo desse nmero  
igual a 9.
 
33. Obtenha a forma reduzida de cada equao 
e determine suas razes. 
 a) x2-4x=5 
 b) `(x+1`).`(x-2`)=-7x-10
 c) 3x.`(x-2`)=2.`(x+#:b`)
 d) `(x+4`)2+?15-x*2=27
<R->

<37> 
<R+>
34. Determine o permetro de cada polgono.

_`[{figuras adaptadas_`]
 
retngulo -- lados: x-1 cm e #:ex+3 cm; rea: 24 cm2
 tringulo retngulo -- lados: 
  x+3 cm, x+#:b cm e 2x+#:b cm; rea: #;=b cm2

35. A figura, composta de um quadrado e dois 
retngulos, tem 144 cm2 de rea.
<R->

<F->
         2x  5 cm
      !::::::::::
      l      _    _
2x   l      _    _ 2x
      l      _    _ 
      r::::::w::::j 
      l      _   
5 cm l      _   
      l      _   
      h::::::j
         2x
<F+> 

<R+>
a) Represente a rea dessa figura por 
meio de uma equao do 2 grau e 
resolva-a pelo mtodo de completar 
quadrados e pela frmula resolutiva. 
<p>
 b) Nos dois mtodos utilizados no item 
*a*, para resolver a equao, a resposta 
obtida foi a mesma? 
 c) Nesse caso, qual dos mtodos voc 
considerou mais adequado? 

36. No livro *Al-Jabr wa'l 
  muqabalah*, do matemtico 
rabe al-Khowarizmi,  abordada 
a resoluo de equaes do 2 grau. 
 A equao a seguir, escrita com notao 
atual,  uma das equaes que aparecem 
nesse livro. 
 x2+21=10x 
 Quais as razes dessa equao? 

37. Observe a vista superior de um terreno 
em que uma piscina foi construda, e no 
qual a regio em verde est coberta com 
grama.
<p>
_`[{figura adaptada_`]

 Legenda:
 p -- piscina
 vd -- verde
<R->

<F->
       8 m   x-1 
     !::::::::::
7 m l      _    _
     l  p   _ vd _ 
     r::::::j    _
     l           _
 x   l  vd       _
     l           _
     h:::::::::::j
<F+>

<R+>
Determine o valor de x sabendo que a regio 
que est coberta com grama representa #?g da rea total do terreno. 

38. O nmero de diagonais D de um polgono 
com n lados  dado pela frmula D=?n`(n-3`)*2.
<p>
Essa frmula pode ser escrita da 
seguinte maneira: 
 D=?n`(n-3`)*2
 D=?n2-3n*2

a) Determine a quantidade de diagonais 
de um polgono com: 
  7 lados 
  20 lados
 b) Quantos lados tem um polgono que 
possui 5 diagonais? E 27 diagonais? 

39. Desafio 
 Observe a bandeira da Finlndia, representada 
proporcionalmente nas suas dimenses 
oficiais.
<R->
<p>
 _`[{bandeira da Finlndia_`]
 Legenda:  -- parte pintada de azul

<F->
        x 
        m 
   pcccccccccccccccccc
   l                  _{
   l                  _{
x p{ 3x+2
  v{ 
   l                  _{
   l                  _{
   v------------------#
   u--------------------
           5x+3         
<F+>

<R+>
Sabendo que essa bandeira  retangular 
e possui 198 unidades de rea, calcule 
a rea ocupada pela parte azul.
<R->

<38>
<p>
<R+>
Estudando as razes de equaes do 2 grau 

Nmero de razes de uma equao e o discriminante 
<R->

  Utilizando a frmula resolutiva, Vtor resolveu trs equaes do 2 
grau.

a) x2+x-12=0
  a=1; b=1; c=-12
  d=12-4.1.`(-12`)
  d=1+48
  d=49
<F->
  x=?-1!:-49*?2.1*=
    =?-1!:-7*2
<F+>
  x1=?-1+7*2=#!b=3
  x2=?-1-7*2=-#"b=-4

<R+>
As razes da equao so 3 e -4.
<R->

b) -x2+14x-49=0
  a=-1; b=14; c=-49
  d=142-4.`(-1`).`(-49`)
  d=196-196
  d=0
<F->
  x=?-14!:-10*?2.`(-1`)*=
    =?-14!:-0*-2
<F+>
  x1=?-14+0*-2=-14-2=7
  x2=?-14-0*-2=-14-2=7

<R+>
A equao tem duas razes iguais a 7.
<R->

c) x2-2x+5=0
  a=1; b=-2; c=5
  d=`(-2`)2-4.1.5
  d=4-20
  d=-16
  x=?-`(-2`)!:--16*?2.1*

<R+>
A equao no tem razes reais, pois em _r no h raiz quadrada 
de nmero negativo. Nessa equao d<0 e no h razes reais. 
<R->
 
_`[{o menino diz_`]
  "Na equao do item *a*, d>0 
e h duas razes reais e 
diferentes. Na equao 
do item *b*, d=0 e h duas 
razes reais e iguais." 
<p>
<R+>
De acordo com o valor de d, podem ocorrer trs casos. 
 Se d>0, a equao do 2 grau possui duas razes reais e diferentes; 
 Se d=0, a equao do 2 grau possui duas razes reais e iguais; 
 Se d<0, a equao do 2 grau no possui razes reais. 
<R->

<39>
<R+>
Relao entre as razes e os 
  coeficientes de uma equao 
<R->
 
  Por meio dos coeficientes de uma equao do 2 grau, podemos 
estabelecer duas relaes envolvendo suas razes. 
  Para determinarmos essas relaes, consideramos uma equao do 2 grau 
cujas razes so dadas por: 

<R+>
x1=?-b+d*2a e x2=?-b-d*2a, com d=b2-4ac e d>=0. 
<R->
<p>
  Agora, estabelecemos as seguintes relaes: 
  soma das razes (S) 

<R+>
x1+x2=?-b+d*`2~a+
  +?-b-d*`2~a=?-b+d-
  -b-d*`2~a=-2b`2~a=-ba
<R->

  produto das razes (P) 

<R+>
x1.x2=?-b+d*2a+?-b-
  -d*2a=?`(-b+d`).
  .`(-b-d`)*4a2=?`(-b`)2-
  -`(d`)2*4a2=?b2-d*
  4a2=?b2-`(b2-4ac`)*
  4a2=?b2-b2+4ac*
  4a2=?4ac*4a2=ca
<R->

  Portanto: 

<R+>
S=x1+x2=-ba

P=x1.x2=ca
<R->

_`[{o moo diz_`]
  "Em uma equao 
do 2 grau quando 
o coeficiente *a*  1, 
podemos calcular 
mentalmente as 
razes utilizando as 
relaes de soma 
e produto. Nesse 
caso, a soma das 
razes  o oposto 
do coeficiente *b* e o 
produto  o prprio 
coeficiente *c*. 
  S=-ba=-b1=-b
  P=ca=c1=c"

  Utilizando as relaes de soma e produto das razes, podemos escrever 
uma equao do tipo ax2+bx+c=0 de outra maneira. Para isso, 
dividimos todos os termos dessa equao por *a*.

<R+>
?ax2*a+bxa+ca=0
 x2+bax+ca=0

Como S=-ba e P=ca, temos:
 x2-`(-ba`)x+ca=0 :> x2-Sx+P=0
<R->

  Podemos escrever uma equao do 2 grau por meio de duas razes dadas. 
<p>
  Uma equao cujas razes so 3 e -4, por exemplo, pode ser 
escrita da seguinte maneira:

<R+>
S=x1+x2=3+`(-4`)=-1
 P=x1.x2=3.`(-4`)=-12

x2=-Sx+P=0
 x2-`(-1`)x+`(-12`)=0
 x2+x-12=0
<R->
 
  Portanto, uma equao cujas razes so 3 e -4  dada por x2+x-12=0.

<40> 
  Veja como podemos calcular as razes da equao x2-4x-21=0.

<R+>
Note que nessa 
equao temos 
a=1. Assim, 
S=-b e P=c. 
<R->
 
  Inicialmente, obtemos dois nmeros cuja soma  o oposto do 
coe-
<p>
 ficiente *b*, isto , -`(-4`)=4. Veja algumas possibilidades. 
 
<R+>
1 e 3, 7 e -3, 2 e 2, 8 e -4
<R->
 
  Como o produto das razes  o prprio coeficiente *c*, isto , -21, as 
razes so 7 e -3, pois: 
 
S=7-3=4, P=7.`(-3`)=-21
 
<R+>
Atividades 

Anote as respostas 
no caderno.
 
40. Sem resolver as equaes, verifique se 
elas tm duas razes reais e iguais, duas 
razes reais e diferentes ou no tm 
razes reais. 
 a) 3x2-9x-21=0 
 b) 9x2-6x+1=0 
 c) x2+4x+5=0 
 d) `(x-1`).`(2x+3`)=0 
<p>
41. Para quais valores de *k* a equao 
x2+2x-k=0 no possui razes 
reais? 

42. Determine o valor de *m*, com m=0, para 
que a equao mx2-6x=3: 
 a) no possua razes reais 
 b) possua duas razes reais e iguais 
 c) possua duas razes reais e diferentes 

43. Para quantos nmeros naturais *n* a equao 
#:bx2+6x+n=0 possui duas razes 
reais?
 
44. Sem resolver as equaes, determine a 
soma e o produto das razes de cada uma 
delas. Depois, resolva as equaes e verifique 
se as respostas esto corretas. 
 a) x2-3x+2=0 
 b) -4x2+8x-4=0 
 c) 3x2-18=-15x 
 d) -x2=-7x+10 
 e) #?cx2+#,}cx=-#,?i
 
45. Determine o valor de *n* em cada item, sendo 
x1 e x2 as razes da equao. 
 a) x2+11x+n=0, em que x1.x2=7 
 b) 3x2-nx+5=0, em que x1+x2=2 
 c) nx2-8x=12, em que x1.x2=-3 
 d) 9+2x2+nx=0, em que x1+x2=5 
 e) x+n+4x2=0, em que x1.x2=4
 
46. Observe os problemas que Talita escreveu 
no caderno. 
 I) A soma das razes da equao x2-`(2m+3`).x=10  igual a 9. Qual o valor de *m*?
 II) O produto das razes da equao `(8n-2`)-9x=-x2  igual a 14. Qual o valor de *n*?
<p>
 III) Qual o valor de *p* na equao 12x=`(-5-4p`).x2, se a soma de suas razes  4?

a) Resolva os problemas escritos por 
Talita e escreva os procedimentos que 
voc utilizou para resolv-los. 
 b) A partir dos valores de *m*, *n*, e *p* obtidos 
no item *a*, escreva a equao de 
cada problema na forma reduzida e 
a resolva. 
 c) Elabore dois problemas semelhantes 
aos de Talita e d para um colega resolver. 
Depois, verifique se ele resolveu 
corretamente. 
<R->

<41>
<R+>
47. Determine: 
 a) as razes de uma equao do 2 grau 
sabendo que a soma dessas razes  -7 e o produto  12 
 b) o produto das razes da equao x2+6mx+2m=0 sabendo que a soma 
das razes  18 

48. Utilizando as relaes de soma e produto 
e conhecendo uma das razes da equao, 
determine o valor de *p* em cada item. 
 a) 2x2+px+16=0, x1=2 
 b) x2+7x+`(p+1`)=0, x1=-3 
 c) 5x2-`(6-p`).x-25=0, x1=-5 
 d) 3x2-9x+`(p2`)=0, x1=1
 
49. Clculo mental 
 Calcule mentalmente as razes de cada 
equao. 
 a) x2-13x+42=0 
 b) x2-11x+28=0 
 c) x2-2x+1=0 
 d) x2-3x-10=0
 
50. Para calcular mentalmente as razes de 
uma equao do 2 grau  conveniente 
que o coeficiente *a* seja igual a 1. Na 
equao 3x2+6x-3=0, por exemplo, 
dividimos inicialmente cada membro da 
equao pelo valor de *a*, ou seja, por 3. 
<p>
 3x2+6x-33=#}c
 Dividindo por 3 
os dois membros. 
 x2+2x-1=0
 Agora, determine mentalmente as razes 
das equaes: 
 a) 4x2-28x+40=0 
 b) 3x2-24x+21=0 
 c) -2x2-4x+48=0
 
51. A soma de dois nmeros  23 e o produto 
 120. Utilizando equaes do 2 grau, 
determine quais so esses nmeros. 
 52. Determine os dois nmeros naturais consecutivos 
cujo produto  132. 

53. Escreva uma equao do 2 grau cujas 
razes sejam: 
 a) x1=3 e x2=4 
 b) x1=-5 e x2=7 
 c) x1=1 e x2=-6 

54. Desafio 
 Escreva uma equao do 2 grau com 
razes iguais a -4 e 11 e com coeficiente 
*a* igual a 5. 

55. Determine as razes de cada equao por 
soma e produto. 
 a) 12x+28=x2 
 b) x2+63=16x 
 c) 15x=3x2+12 
 d) `(x+6`)a2=25x-4
 
56. Em uma equao do 2 grau, a soma das 
razes  igual ao triplo do produto das 
razes e o coeficiente *a*  igual a 1. Sabendo 
que a soma das razes  igual a 
12, determine essa equao. 

57. Escreva duas equaes do 2 grau cujas 
razes sejam: 
 a) -3 e 0 
 b) nmeros pares 
 c) nmeros primos 
 d) nmeros reais e iguais 
<p>
58. Observe o trapzio.
<R->

<F->
r:::: 8 cm ::::w
pccccccccccccccc
l                
l rea: 40 cm2 
l                  
v-------------------u 
<F+>

<R+>
Sabendo que a base maior desse trapzio 
 igual ao triplo da altura, determine as 
medidas da base maior e da altura. 

59. Desafio 
 Daqui a quantos anos o produto das idades 
de Antnio e Mrio ser 336? 
<R->

_`[{antnio_`]
  "Eu tenho 12 anos."

_`[{mrio_`]
  "Eu tenho 17 anos."
 
<42>
<p>
<R+>
Sistema de duas equaes com duas incgnitas
<R->
 
  Estudamos anteriormente como resolver sistemas de duas equaes do 
1 grau com duas incgnitas. Agora, estudaremos alguns sistemas que 
recaem em equaes do 2 grau. 
  Observe a situao a seguir. 
  Guilherme utilizou 72 m de tela para cercar um terreno retangular 
com 315 m2. Quais so as dimenses desse terreno? 
  Para resolver essa questo, podemos escrever um sistema de 
duas equaes, chamando de *x* o comprimento e de *y* a largura 
do terreno.

<F->
        x
  pccccccccccccc
  l             _
  l             _ y
  l             _
  v-------------# 
<p> 
!::::::::::::::::::::::::::
l Informao _ Equao    _
r:::::::::::::w:::::::::::::w
l Permetro  _ 2x+2y=72 _
l rea       _ x.y=315    _
r:::::::::::::j:::::::::::::w
l          Sistema         _
r:::::::::::::::::::::::::::w
l   2x+2y=72 e x.y=315  _
h:::::::::::::::::::::::::::j
<F+>

  Esse sistema pode ser resolvido pelo mtodo da substituio. Para isso 
escolhemos uma equao e isolamos uma das incgnitas.

<R+>
2x+2y=72
 2x+2y-2y=72-2y
 2x=72-2y
 2x2=?72-2y*2 
 x=36-y
 
Nesse caso, escolhemos a 
equao 2x+2y=72 e 
isolamos a incgnita x. 
<R->
<p>
  Em seguida, substitumos x por 36-y na outra equao.

<R+>
x.y=315
 `(36-y`).y=315
 36y-y2=315
 36y-y2-315=315-315
 -y2+36y-315=0
<R->
 
  Resolvendo -y2+36y-315=0 com a frmula resolutiva, temos: 

<R+>
a=-1; b=36; c=-315
 d=362-4.`(-1`).`(-315`)=
  =1.296-1.260=36
 y=?-36!:-36*?2.`(-1`)*=
  =?-36!:-6*-2
 y1=?-36+6*-2=-30-2=15
 y2=?-36-6*-2=-42-2=21
<R->

  Para determinar o valor de x, substitumos os valores obtidos de y na 
equao x=36-y. 
<p>
<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::
l para y1=15 _ para y2=21 _
r:::::::::::::::w:::::::::::::::w
l x1=36-y1 _ x2=36-y2 _
l x1=36-15  _ x2=36-21  _
l x1=21      _ x2=15      _
h:::::::::::::::j:::::::::::::::j
<F+>

  Portanto, as dimenses do terreno so 15 m e 21 m. 

_`[{a moa diz_`]
  "Tambm podemos representar a soluo desse sistema em um 
plano cartesiano."
<p>
<F->
  y_ 
   _    `(15,#ba`) 
21_--------
   _        
   _         `(21,#ae`)
15_------------
   _            
   _            
   _            
   _                
:::w::::::::r::::r:::>
 0_       15  21  x
<F+>

<43>
<R+>
Atividades 

Anote as respostas 
no caderno. 

60. Resolva os sistemas de equaes. 
 a) 
  2x-y2=1
  3x+y=4
 
b)
  x+6y=3
  x.y=-9
<p> 
c)
  x-y=8
  x+y2=14
 
d)
  x+y=#?f
  x2+3y=#?d

61. Observe o plano cartesiano. 
<R->

<F->
               y
           {b  _
           o~~w6
 {e        {   _
 o~~~~~~~~_~~~w4  {a
 {         { 3_~~~~o
 {         {   _    {       {f
 {         { 1_~~~~w~~~~~~~o
 {   -3   {   _    {       {   7
:w::::w::::w:::w::::w:::w:::w:::w
-4   {   -1  _0  2  {   4  {
      {        _        {       {
      o~~~~~~~w -2~~~~w~~~~~~~o
      {c       _        {       {d
               _        { 
           -5 _~~~~~~~~o 
                        {g
<F+>

<R+>
Determine quais dos pontos indicados no 
plano representam solues do sistema:
 
a) 
  -x+y=1
  x.y=6

b)
  x2+y=7
  x+y=5

c)
  x+y=5
  x-y2=3

62. Resolva cada problema. 
<R->

a) _`[{o menino diz_`]
  "A soma de dois nmeros 
 6 e o produto entre eles 
 -16. Quais so esses 
nmeros?"

b) _`[{a menina diz_`]
  "Quais so os dois nmeros 
cuja metade da soma  4 e o 
produto entre eles  -33?" 
 
c) _`[{a moa diz_`]
  "Um nmero est para outro 
assim como 7 est para 3. 
Determine esses dois 
nmeros sabendo que a soma 
de seus quadrados  232."
 
<R+>
63. O terreno retangular em verde tem permetro 
igual a 86 m e rea igual a 450 m2. 
<R->

<F->
   1,9 m
    mc
pcccccccccccccccccc
l                  _
l                  _
l     rea verde   _
l                  _
l                  _
v------------------#
<F+>

<R+>
 a) Quais as dimenses desse terreno? 
 b) Uma calada com 1,9 m de largura ser 
construda em frente a um dos lados 
menores desse 
<p>
  terreno. Qual a 
rea ocupada por essa calada? 

64. Diego utiliza o seguinte procedimento para 
resolver mentalmente um sistema de 
equaes com duas incgnitas.
<R->
 
  "Inicialmente, penso em pares de 
nmeros que satisfaam uma 
das equaes. Depois, substituo 
cada par de nmeros na outra 
equao. Aquele que satisfizer as 
duas equaes ao mesmo tempo 
ser a soluo do sistema."
 
<R+>
Resolva mentalmente os sistemas. 
 a)
  x+y=3
  x.y=2

b)
  -x+y=3
  x.y=0

c)
  x-y=0
  x+y2=6
<p>
d)
  xy4=4
  x-y=0

65. Somando o nmero de camisas 
com o de calas que Romildo possui, 
obtm-se 23 peas de 
roupa. Calculando o 
produto do nmero de 
cada tipo de pea, obtm-se 
102. 
 a) Sabendo que Romildo possui mais camisas 
que calas, determine quantas 
calas e quantas camisas ele possui. 
 b) Como pode ser entendido o significado 
do produto entre o nmero de calas 
e de camisas? 
<R->

<44>
<R+>
Refletindo sobre o captulo 

Anote as respostas 
no caderno.
 
1. Quais foram os contedos abordados neste captulo? 
 2. O que diferencia uma equao do 1 grau de uma equao do 2 grau? 
 3. Como  possvel verificar se certo nmero  soluo de uma equao 
do 2 grau?
 4. Leia o que Osvaldo est dizendo. 
<R->

  "Uma equao do 2 grau sempre 
tem duas razes reais." 

<R+>
A afirmao feita por Osvaldo est correta? Justifique. 

5.  possvel que uma equao do 2 grau no tenha soluo real? 
Justifique por meio de um exemplo. 
 6. Vimos que uma equao do 2 grau pode ser resolvida pelos mtodos 
de fatorao, completar quadrados ou utilizando a frmula resolutiva. Quais desses 
mtodos voc prefere? Justifique. 
 7. O que  possvel determinar em uma equao do 2 grau observando 
apenas o valor do discriminante? 
 8. As relaes de soma e produto das razes de uma equao do 2 grau 
so teis em quais situaes? D um exemplo. 
 
9. Observe as imagens e, a partir dos contedos estudados neste 
captulo, elabore e escreva algumas questes relacionadas a elas. Junte-se a um colega, 
troquem as questes que vocs elaboraram e discutam as resolues. 

_`[{cinco imagens adaptadas_`]

1 -- Um retngulo com dimenses x e y; permetro: 50 m e rea: 154 m2.
 2 -- Um quadro de giz com a frmula x=?-b!:-d*2~a.
 3 -- Dois slidos: um cubo com as dimenses: x; um paraleleppedo com as dimenses: x, 
  x+1 cm e 4 cm.
 4 -- Uma menina diz: "Pensei em um nmero que, ao ser multiplicado pelo seu dobro mais um,  igual a 3."
 5 -- Um quadro de giz com as equaes: 
 7x2=0
 3x2+21x=0
 3x2-27=0
 x2-11x+24=0
<R->
 
<R+>
Reviso 

Anote as respostas 
no caderno.
 
66. Escreva as equaes que so do 2 grau 
e classifique-as em completas ou incompletas. 
 a) 16.`(x+1`)=7x2 
 b) x.(2x+1)=5x 
 c) x2-4x.`(x2+2)=0 
 d) -3x2-5=0 
 e) 2-6x2=10x 
 f) x2+3x=9+x2 

67. Em qual equao o nmero 2  uma raiz? 
 a) 8x2=2.`(4+x`) 
 b) 3x2-6x=0 
 c) -x2+x=-7 
 d) -9x2=18x 

68. Qual item apresenta as razes de uma 
equao do 2 grau na forma reduzida 
que possui os coeficientes a=1, b=-2 
e c=-3? 
 a) 1 e 3 
 b) 1 e -3 
 c) -1 e 3 
 d) -1 e -3

69. Quais das equaes apresentam 8 e -6 
como razes? 
 a) x22-x-24=0
 b) x2+2x-10=0
 c) x22+3x-8=0
 d) x2-2x-48=0

70. Para cada item, escreva uma equao do 
2 grau na forma reduzida. 
 a) O quadrado de um nmero  igual a 64. 
 b) O oposto do quadrado de um nmero, 
mais o triplo desse nmero  igual a 
zero. 
<p>
 c) O quadrado de um nmero  igual a 
esse mesmo nmero multiplicado por 
oito. 
 d) A quarta parte do quadrado de um 
nmero  igual a sete. 

71. Determine o valor de *x* em cada item. 
 a) O quadrado de x  igual a 121. 
 b) O triplo do quadrado de x  igual a 243. 
 c) O dobro do quadrado de x  igual a x 
multiplicado por 6. 
 d) A tera parte do quadrado de x, menos 
o dobro de x,  igual a zero. 

72. Para os coeficientes indicados em cada ficha, 
escreva uma equao do 2 grau na 
forma reduzida. Em seguida, determine 
as razes de cada uma das equaes. 
 I) a=-3; b=2; c=0 
 II) a=1; b=0; c=-9
 III) a=#,b; b=2; c=0
 IV) a=2; b=0; c=-32
<p>
73. Sem resolver as equaes, determine 
quais tm raiz real. 
 a) 4.`(x2+2`)=8.`(x+1) 
 b) x2-3.`(x-15)=-4-3x 
 c) 3x.`(x-1)=2x 
 d) -6x2+12=0 
 e) -8x2-32=16 
 f) 11x2=0
 
74. Para pintar os dois lados de um muro, 
foram necessrias exatamente 3 latas 
de tinta que 
cobrem, cada 
uma, 24 m2 de 
rea. Sabendo 
que a altura do 
muro corresponde 
a #,i de seu comprimento, 
qual a altura e o comprimento 
desse muro? 

75. Considerando a forma reduzida de uma 
equao de 2 grau, julgue cada alternativa 
verdadeira ou falsa. 
 a) Em uma equao do 2 grau em que 
b=0 e c<0, as razes so nmeros 
opostos. 
<p>
 b) Todas as equaes de 2 grau incompletas 
possuem razes reais. 
 c) Existem equaes de 2 grau que possuem 
o coeficiente a=0. 
 d) Quando uma equao de 2 grau possui 
c=0, uma das razes  0. 
<R->
 
<R+>
76. Determine as medidas dos lados de cada 
terreno retangular. 
 a) rea total: 40 m2

<F->
     5 m           x
pccccccccccccccccpcccccc
l                l      _ x
l                l      _
l                v------#
l                       _
l                       _ 2 m
v-----------------------#
<p> 
b) rea total: 84 m2

     pccccccccccccccccccccccccccc
1 m l                           _
     v--------------             _
     l             _             _
     l             _             _
   y l             _             _
     l             _             _
     v-------------#-------------#
         y+3 m         6 m
<F+>

77. Desafio 
 Para construir uma calada contornando 
uma casa, foram necessrios 96 m2 de 
lajotas. Sabendo que toda a calada ter 
a mesma largura e que as dimenses da 
casa so 8 m e 12 m, qual a largura da calada 
que ser construda? 

Considere que o terreno ocupado 
pela casa tem forma retangular. 
<p>
78. Sabendo que os retngulos tm reas 
iguais, determine o permetro de cada 
um deles. 
<R->
 
<F->
a) 
  pccccccccccccc
  l             _
  l             _ 2x 
  l             _
  v-------------# 
     5x-1 cm

b) 
  pccccccccccccccc
  l               _ x+1 cm
  l               _ 
  v---------------# 
      3x+6 cm
<F+>

<R+>
79. A praa retangular tem 
  112 m2. Qual o 
permetro dessa praa? 
<p>
<F->
  pcccccccccccccccccccccccccc
  l                          _
  l                          _
x l                          _
  l                          _
  l                          _
  v--------------------------#
            x+6 m
<F+>

80. Calcule os valores de x e y nas figuras 
de modo que a rea de cada uma delas 
seja 
  216 cm2. 
<p>
<F->
a)
                  x
      $::::::::::::::::::::::::   
3 cm _                        _
      _                        _
  +:::w::::::::::::::::::::::::w
  l   _                        _
  l   _                        _
  l   _                        _
x l   _                        _
  l   _                        _
  l   _                        _
  l   _                        _
  h:::j::::::::::::::::::::::::j

b)
         y        15 cm
       pccccccccccccccccccccc
     y l   _                  _
       r:::w::::::::::::::::::j
       l   _
       l   _
       l   _
15 cm l   _
       l   _
       l   _
       l   _
       h:::j 
<F+>
<p>
81. Para quais valores de x as expresses 
apresentadas em cada item so iguais? 
 a) 6x+4 e -2x2 
 b) `(x+2)2 e 9 

82. Quais equaes tm duas razes reais e 
diferentes? 
 a) 2x2-12x+18=0 
 b) x2-22x-6=0 
 c) 5x2-8x+5=0 
 d) x22-4x+6=0
 
83. Para quais valores de *m* a equao 
2x2-12x+m+3=0 possui duas razes 
reais e: 
 a) iguais? 
 b) diferentes? 
<R->
 
<47> 
<R+>
84. Obtenha a soma e o produto das razes 
de cada equao. 
 a) 3x2-6x-24=0 
 b) 6x2-20x+6=0 
 c) 2x2+9x+4=0 
 d) -#,cx2-2x+9=0
<p>
85. Sem efetuar clculos por escrito, associe 
cada equao s suas razes, escrevendo 
a letra e o smbolo romano correspondentes. 
 a) 2x2-2x-12=0 
 b) -x2+5x-6=0
 c) -2x2-10x-12=0 
 d) x2+x-6=0 

I) 2 e 3 
 II) 2 e -3 
 III) -2 e 3 
 IV) -2 e -3 

86. Escreva uma equao do 2 grau cujas 
razes sejam: 
 a) iguais 
 b) opostas 
 c) uma o dobro da outra 
 d) nmeros inteiros consecutivos 

87. Utilizando as relaes de soma e produto, 
determine as solues da equao 
x2-7x+10=0. 
<p>
88. As medidas dos lados do retngulo, em 
centmetros, coincidem numericamente 
com as razes de uma equao do 
2 grau de coeficiente a=1. Sabendo 
que a rea do retngulo  24 cm2 e o permetro 
 20 cm, escreva essa equao 
do 2 grau.
<R->

<F->
 x1
!::::
l    _
l    _ x2
l    _
l    _ 
h::::j
<F+>
 
<R+>
89. Determine as razes da equao #:bx2-32x-9=0. 
 90. A soma de dois nmeros naturais  20 e 
o produto deles  96. Quais so esses nmeros? 
 91. Sabendo que a rea de um jardim retangular 
 36 m2 e o permetro  26 m, quais 
as medidas dos lados desse jardim? 

92. Nas figuras _`[no adaptadas_`] esto indicadas as reas da 
parte vermelha e da parte verde. Sabendo 
que x>y, determine as medidas de 
x e y em cada figura. 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<48>
<R+>
93. Na figura, a rea da regio em verde  igual a 148 m2 
e da regio em alaranjado, 
  50 m2. Quais so as medidas 
*a* e *b*, sendo a<b? 

<F->
pccccccccccccccccccccc^^
l                     _  _
l       verde         _  _ 6 m
l                     _  _
l       !:::::::::::::w~~w
l       l             _  _
l       l alaranjado  _  _ a
l       l             _  _
v-------v-------------##
  8 m         b
<F+>

Testes 

Anote as respostas 
no caderno.
 
94. (UFC-CE) O produto das razes reais da 
equao 4x2-14x+6=0  igual a: 
 a) -#:b
 b) -#,b
 c) #,b
 d) #:b
 e) #?b

95. (SARESP-SP) A equao x2+3x=0: 
 a) no tem razes reais 
 b) tem uma raiz nula e outra negativa 
 c) tem uma raiz nula e outra positiva 
 d) tem duas razes reais e simtricas 
<p>
96. (UECE-CE) A equao do segundo grau 
cujas razes so -#,b e #,c : 
 a) x2-#,bx+#,c=0
 b) x2+#,bx+#,c=0
 c) 6x2+x-1=0
 d) 6x2-x+1=0
 
97. (FEI-SP) As razes da equao 
x2-5x+6=0 so dois nmeros: 
 a) pares 
 b) mpares 
 c) cuja soma  igual a 6 
 d) cujo produto  igual a -6 
 e) primos 

98. (Unifei-MG) Sejam a,_r e b,_r, com 
a>b, as razes da equao x2+6x+#:?d=0. A equao cujas razes 
so a2 e b3 : 
 a) 4x2-24x+35=0 
 b) 24x2+58x+35=0 
 c) 4x2-35x+24=0 
 d) 24x2+62x+35=0 
<p>
99. (UFAM-AM) As razes da equao 
x2+7x+m=0, onde *m*  uma constante 
real, so os nmeros x1 e x2. Se 
x1-2x2=5, o valor da constante m : 
 a) 7 
 b) 10 
 c) -1 
 d) -7 
 e) 12 

100. (SARESP-SP) Em uma sala retangular 
deve-se colocar um tapete de medidas 
2 m "3 m, de modo que se mantenha a 
mesma 
<p>
  distncia em relao s paredes, 
como indicado no desenho a seguir. 

<F->
      x         3 m          x  
     pccpcccccccccccccccccccpcc
   x l  l                   l  _
     r::r:::::::::::::::::::l  _
     l  l                   l  _
     l  l                   l  _
2 m l  l     Tapete       l  _
     l  l                   l  _
     l  l                   l  _
     r::h:::::::::::::::::::b  _
   x l                         _
     v-------------------------# 
<F+>

Sabendo que a rea dessa sala  12 m2, 
o valor de *x* ser: 
 a) 0,5 m 
 b) 0,75 m 
 c) 0,8 m 
 d) 0,05 m 

101. (PUC-MG) Dois terrenos quadrados A e 
B so tais que a soma de seus permetros 
 480 m e a soma de suas reas  
8.000 m2. Outro terreno C  retangular, 
tem largura igual a um dos lados de A e 
comprimento igual a um dos lados de B. 
Nessas condies, a medida da rea do 
terreno C, em metros quadrados, : 
 a) 3.200 
 b) 3.600 
 c) 4.000 
 d) 4.800 
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Primeira Parte